Тригонометрия Примеры

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

Этап 1

Разделим каждый член $\tan (x) < 2 \sin (x)$ на $\tan (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\tan (x) < 2 \sin (x)$ на $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим дроби.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Этап 1.3.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 1.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 1.3.4

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 1.3.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Сократим общий множитель.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 1.3.5.2

Перепишем это выражение.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

Этап 1.3.6

Разделим $2$ на $1$ .

$1 < 2 \cos (x)$

Этап 2

Перепишем таким образом, чтобы $\cos (x)$ оказалось в левой части неравенства.

$2 \cos (x) > 1$

Этап 3

Разделим каждый член $2 \cos (x) > 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) > 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x > \frac{π}{3}$

Этап 6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 7

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 7.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 8

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Найдем область определения $\tan (x) - 2 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.31$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $1.31$ в исходном неравенстве.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

Этап 12.1.3

Левая часть $3.74708097$ не меньше правой части $1.9323699$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 0.14254654$ меньше правой части $0.28224001$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 3.380515$ меньше правой части $- 1.91784854$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

Этап 12.4.3

Левая часть $- 0.29100619$ не меньше правой части $- 0.55883099$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.5

Проверим значение на интервале $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Выберем значение на интервале $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7.59$

Этап 12.5.2

Заменим $x$ на $7.59$ в исходном неравенстве.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

Этап 12.5.3

Левая часть $3.69973691$ не меньше правой части $1.93071743$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.6

Проверим значение на интервале $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Выберем значение на интервале $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 9$

Этап 12.6.2

Заменим $x$ на $9$ в исходном неравенстве.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

Этап 12.6.3

Левая часть $- 0.45231565$ меньше правой части $0.82423697$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.7

Проверим значение на интервале $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.7.1

Выберем значение на интервале $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 11$

Этап 12.7.2

Заменим $x$ на $11$ в исходном неравенстве.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

Этап 12.7.3

Левая часть $- 225.95084645$ меньше правой части $- 1.99998041$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.8

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Истина

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Ложь

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Ложь

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Истина

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Истина

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Истина

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Ложь

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Ложь

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Истина

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Этап 14

Объединим интервалы.

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15