Тригонометрия Примеры

$y = - \frac{1}{2} \cdot \csc (- π x + \frac{π}{4}) + 1$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = - \frac{\csc (- π x + \frac{π}{4})}{2} + 1$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = - \frac{\csc (- π x + \frac{π}{4})}{2} + 1$ .

$- π x + \frac{π}{4} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$- π x = - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- π x = - \frac{π}{4}$ на $- π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- π x = - \frac{π}{4}$ на $- π$ .

$\frac{- π x}{- π} = \frac{- \frac{π}{4}}{- π}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{4}}{- π}$

Этап 1.2.2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{4}}{- π}$

Этап 1.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{- π}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{\frac{π}{4}}{π}$

Этап 1.2.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 1.2.2.3.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 1.2.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{4}$

Этап 1.3

Выражение внутри косеканса $- π x + \frac{π}{4}$ приравняем $2 π$ .

$- π x + \frac{π}{4} = 2 π$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$- π x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- π x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$- π x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- π x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$- π x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 1.4.1.5.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$- π x = \frac{7 π}{4}$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $- π x = \frac{7 π}{4}$ на $- π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $- π x = \frac{7 π}{4}$ на $- π$ .

$\frac{- π x}{- π} = \frac{\frac{7 π}{4}}{- π}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{4}}{- π}$

Этап 1.4.2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{4}}{- π}$

Этап 1.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{- π}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{- π}$

Этап 1.4.2.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $7 π$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{4} \cdot \frac{1}{- π}$

Этап 1.4.2.3.2.2

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{4} \cdot \frac{1}{π \cdot - 1}$

Этап 1.4.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π \cdot 7}{4} \cdot \frac{1}{π \cdot - 1}$

Этап 1.4.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{- 1}$

Этап 1.4.2.3.3

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{1}{- 1}$ .

$x = \frac{7}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.4.2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = \frac{7}{- 4}$

Этап 1.4.2.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{4}$

Этап 1.5

Основной период $y = - \frac{\csc (- π x + \frac{π}{4})}{2} + 1$ находится на промежутке $(\frac{1}{4}, - \frac{7}{4})$ , где $\frac{1}{4}$ и $- \frac{7}{4}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{1}{4}, - \frac{7}{4})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$- π$ приблизительно равно $- 3.14159265$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- π$ и вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 1.6.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = - \frac{\csc (- π x + \frac{π}{4})}{2} + 1$ находятся в $\frac{1}{4}$ , $- \frac{7}{4}$ и в каждой точке $x = \frac{1}{4} + n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{1}{4} + n$

Этап 1.8

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{1}{4} + n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{1}{4} + n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \csc (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - π$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = 1$

Этап 3

Поскольку график функции $c s c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $- \frac{\csc (- π x + \frac{π}{4})}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $- π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| - π |}$

Этап 4.1.3

$\frac{2 π}{π}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 4.1.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Найдем период $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $- π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| - π |}$

Этап 4.2.3

$\frac{2 π}{π}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$2$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{π}{4}}{- π}$

Этап 5.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

Сдвиг фазы: $\frac{\frac{π}{4}}{π}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 5.5.2

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $\frac{1}{4}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $2$

Сдвиг фазы: $\frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{4}$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{1}{4} + n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $2$

Сдвиг фазы: $\frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{4}$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

Этап 8