Тригонометрия Примеры

$y = 2 \cos (π x - 3) + 3$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 2$

$b = π$

$c = 3$

$d = 3$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $2 \cos (π x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 3.1.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 3.1.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.2

Найдем период $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 3.2.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 3.2.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$2$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{3}{π}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $2$

Сдвиг фазы: $\frac{3}{π}$ ( $\frac{3}{π}$ вправо)

Смещение по вертикали: $3$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = \frac{3}{π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{π}$ .

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cos (3 - 3) + 3$

Этап 6.1.2.1.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cos (0) + 3$

Этап 6.1.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cdot 1 + 3$

Этап 6.1.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{3}{π}) = 2 + 3$

Этап 6.1.2.2

Добавим $2$ и $3$ .

$f (\frac{3}{π}) = 5$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{1}{2} + \frac{3}{π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2} + \frac{3}{π}$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{1}{2}) + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.2.2.1.1.2

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2} + 3 - 3) + 3$

Этап 6.2.2.1.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2} + 0) + 3$

Этап 6.2.2.1.3

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 3$

Этап 6.2.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cdot 0 + 3$

Этап 6.2.2.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 0 + 3$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 3$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 1 + \frac{3}{π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1 + \frac{3}{π}$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (1 + \frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π \cdot 1 + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.3.2.1.1.2

Умножим $π$ на $1$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.3.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π + 3 - 3) + 3$

Этап 6.3.2.1.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π + 0) + 3$

Этап 6.3.2.1.3

Добавим $π$ и $0$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π) + 3$

Этап 6.3.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 (- \cos (0)) + 3$

Этап 6.3.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 (- 1 \cdot 1) + 3$

Этап 6.3.2.1.6

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cdot - 1 + 3$

Этап 6.3.2.1.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = - 2 + 3$

Этап 6.3.2.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 1$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{3}{2} + \frac{3}{π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2} + \frac{3}{π}$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{3}{2}) + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.4.2.1.1.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.4.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + 3 - 3) + 3$

Этап 6.4.2.1.1.4

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} + 3 - 3) + 3$

Этап 6.4.2.1.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} + 0) + 3$

Этап 6.4.2.1.3

Добавим $\frac{3 π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2}) + 3$

Этап 6.4.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 3$

Этап 6.4.2.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cdot 0 + 3$

Этап 6.4.2.1.6

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 0 + 3$

Этап 6.4.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 3$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 2 + \frac{3}{π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 + \frac{3}{π}$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (2 + \frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π \cdot 2 + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.5.2.1.1.2

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 \cdot π + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.5.2.1.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 \cdot π + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

Этап 6.5.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 \cdot π + 3 - 3) + 3$

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 π + 3 - 3) + 3$

Этап 6.5.2.1.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 π + 0) + 3$

Этап 6.5.2.1.3

Добавим $2 π$ и $0$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 π) + 3$

Этап 6.5.2.1.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (0) + 3$

Этап 6.5.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cdot 1 + 3$

Этап 6.5.2.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 + 3$

Этап 6.5.2.2

Добавим $2$ и $3$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 5$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{3}{π} & 5 \\ \frac{1}{2} + \frac{3}{π} & 3 \\ 1 + \frac{3}{π} & 1 \\ \frac{3}{2} + \frac{3}{π} & 3 \\ 2 + \frac{3}{π} & 5 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $2$

Сдвиг фазы: $\frac{3}{π}$ ( $\frac{3}{π}$ вправо)

Смещение по вертикали: $3$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{3}{π} & 5 \\ \frac{1}{2} + \frac{3}{π} & 3 \\ 1 + \frac{3}{π} & 1 \\ \frac{3}{2} + \frac{3}{π} & 3 \\ 2 + \frac{3}{π} & 5 \end{array}$

Этап 8