Тригонометрия Примеры

$y = 1 \cos (x)$ , $y = 2 \cos (x)$ , $y = - 3 \cos (x)$

Этап 1

Построим график $y = 1 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 1.2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $1$

Этап 1.3

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.3.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.3.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 1.4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{1}$

Этап 1.4.3

Разделим $0$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 1.5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $1$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 1.6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Этап 1.6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 1.6.1.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 1.6.2

Найдем точку в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Этап 1.6.2.2.2

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 1.6.3

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = \cos (π)$

Этап 1.6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (π) = - \cos (0)$

Этап 1.6.3.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Этап 1.6.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = - 1$

Этап 1.6.3.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 1.6.4

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 1.6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.6.4.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Этап 1.6.4.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 1.6.5

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = \cos (2 π)$

Этап 1.6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2 π) = \cos (0)$

Этап 1.6.5.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 π) = 1$

Этап 1.6.5.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 1.6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 1 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ π & - 1 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 2 π & 1 \end{array}$

Этап 1.7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $1$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 1 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ π & - 1 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 2 π & 1 \end{array}$

Амплитуда: $1$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 1 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ π & - 1 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 2 π & 1 \end{array}$

Этап 2

Построим график $y = 2 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 2.2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 2.3

Найдем период $2 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.3.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.3.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 2.4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{1}$

Этап 2.4.3

Разделим $0$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 2.5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 2.6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \cos (0)$

Этап 2.6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2$

Этап 2.6.1.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.6.2

Найдем точку в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 2.6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0$

Этап 2.6.2.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Этап 2.6.2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.6.3

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 2 \cos (π)$

Этап 2.6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1

$f (π) = 2 (- \cos (0))$

Этап 2.6.3.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.6.3.2.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1$

Этап 2.6.3.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (π) = - 2$

Этап 2.6.3.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 2.6.4

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 2.6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 2.6.4.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 0$

Этап 2.6.4.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Этап 2.6.4.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.6.5

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \cos (2 π)$

Этап 2.6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \cos (0)$

Этап 2.6.5.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 π) = 2 \cdot 1$

Этап 2.6.5.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (2 π) = 2$

Этап 2.6.5.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ π & - 2 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 2 π & 2 \end{array}$

Этап 2.7

Амплитуда: $2$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ π & - 2 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 2 π & 2 \end{array}$

Амплитуда: $2$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ π & - 2 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 2 π & 2 \end{array}$

Этап 3

Построим график $y = - 3 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$a = - 3$

$b = 1$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 3.2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $3$

Этап 3.3

Найдем период $- 3 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.3.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.3.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 3.4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{1}$

Этап 3.4.3

Разделим $0$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 3.5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $3$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 3.6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 3 \cos (0)$

Этап 3.6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = - 3 \cdot 1$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (0) = - 3$

Этап 3.6.1.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 3.6.2

Найдем точку в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 3.6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 \cdot 0$

Этап 3.6.2.2.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Этап 3.6.2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.6.3

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = - 3 \cos (π)$

Этап 3.6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

$f (π) = - 3 (- \cos (0))$

Этап 3.6.3.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.6.3.2.3

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = - 3 \cdot - 1$

Этап 3.6.3.2.3.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (π) = 3$

Этап 3.6.3.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.6.4

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 3.6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 3.6.4.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cdot 0$

Этап 3.6.4.2.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Этап 3.6.4.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.6.5

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = - 3 \cos (2 π)$

Этап 3.6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2 π) = - 3 \cos (0)$

Этап 3.6.5.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 π) = - 3 \cdot 1$

Этап 3.6.5.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (2 π) = - 3$

Этап 3.6.5.2.4

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 3.6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 3 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ π & 3 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 2 π & - 3 \end{array}$

Этап 3.7

Амплитуда: $3$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 3 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ π & 3 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 2 π & - 3 \end{array}$

Амплитуда: $3$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 3 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ π & 3 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 2 π & - 3 \end{array}$

Этап 4

Построим каждый график в одной системе координат.

$y = 1 \cos (x)$

$y = 2 \cos (x)$

$y = - 3 \cos (x)$

Этап 5