Тригонометрия Примеры

$\cot (x) < 0$ , $\sin (x) < 0$

Этап 1

Решим $\cot (x) < 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x < arccot (0)$

Этап 1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x < \frac{π}{2}$

Этап 1.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 1.4.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.8

Найдем область определения $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Зададим аргумент в $\cot (x)$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.8.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 1.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

Этап 1.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 1.10.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\cot (1) < 0$

Этап 1.10.1.3

Левая часть $0.64209261$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 1.10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\cot (2) < 0$

Этап 1.10.2.3

Левая часть $- 0.45765755$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.10.3

Проверим значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Выберем значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\cot (4) < 0$

Этап 1.10.3.3

Левая часть $0.86369115$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < x < π$ Истина

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Ложь

$0 < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < x < π$ Истина

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Ложь

Этап 1.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2

Решим $\sin (x) < 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x < \arcsin (0)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x < 0$

Этап 2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

Этап 2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (2) < 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $0.90929742$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) < 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $- 0.95892427$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < π$ Ложь

$π < x < 2 π$ Истина

$0 < x < π$ Ложь

$π < x < 2 π$ Истина

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем пересечение $\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ и $π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ .

Нет решения