Тригонометрия Примеры

$\sin (2 θ - \frac{π}{2}) = - 1$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$2 θ - \frac{π}{2} = \arcsin (- 1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}$

Этап 3

Перенесем все члены без $θ$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 θ = - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 θ = \frac{- π + π}{2}$

Этап 3.3

Добавим $- π$ и $π$ .

$2 θ = \frac{0}{2}$

Этап 3.4

Разделим $0$ на $2$ .

$2 θ = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $2 θ = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 θ = 0$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{0}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$θ = 0$

Этап 5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.3

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены без $θ$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 θ = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 6.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 θ = \frac{3 π + π}{2}$

Этап 6.3.1.3

Добавим $3 π$ и $π$ .

$2 θ = \frac{4 π}{2}$

Этап 6.3.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$2 θ = \frac{2 (2 π)}{2}$

Этап 6.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 θ = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

Этап 6.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 θ = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 θ = \frac{2 π}{1}$

Этап 6.3.1.4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 θ = 2 π$

Этап 6.3.2

Разделим каждый член $2 θ = 2 π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Разделим каждый член $2 θ = 2 π$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{2 π}{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{2 π}{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{2 π}{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{2 π}{2}$

Этап 6.3.2.3.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$θ = π$

Этап 7

Найдем период $\sin (2 θ - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8

Период функции $\sin (2 θ - \frac{π}{2})$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$θ = π n$ , для любого целого $n$