Тригонометрия Примеры

$\cos (2 θ) = 11 \sin (θ) - 5$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $11 \sin (θ)$ из обеих частей уравнения.

$\cos (2 θ) - 11 \sin (θ) = - 5$

Этап 1.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$\cos (2 θ) - 11 \sin (θ) + 5 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (θ) - 11 \sin (θ) + 5 = 0$

Этап 2.2

Добавим $1$ и $5$ .

$6 - 2 \sin^{2} (θ) - 11 \sin (θ) = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$- 2 \sin^{2} (θ) - 11 \sin (θ) + 6 = 0$

Этап 3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 6 = - 12$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 \sin (θ)$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - 11 \sin (θ) + 6 = 0$

Этап 3.2.2

Запишем $- 11$ как $1$ плюс $- 12$

$- 2 \sin^{2} (θ) + (1 - 12) \sin (θ) + 6 = 0$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \sin^{2} (θ) + 1 \sin (θ) - 12 \sin (θ) + 6 = 0$

Этап 3.2.4

Умножим $\sin (θ)$ на $1$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 12 \sin (θ) + 6 = 0$

Этап 3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 12 \sin (θ) + 6 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sin (θ) (- 2 \sin (θ) + 1) + 6 (- 2 \sin (θ) + 1) = 0$

Этап 3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 \sin (θ) + 1$ .

$(- 2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) + 6) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 2 \sin (θ) + 1 = 0$

$\sin (θ) + 6 = 0$

Этап 5

Приравняем $- 2 \sin (θ) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $- 2 \sin (θ) + 1$ к $0$ .

$- 2 \sin (θ) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $- 2 \sin (θ) + 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (θ) = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (θ) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (θ) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 5.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 5.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Этап 5.2.7

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\sin (θ) + 6$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (θ) + 6$ к $0$ .

$\sin (θ) + 6 = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (θ) + 6 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$\sin (θ) = - 6$

Этап 6.2.2

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 6$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- 2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) + 6) = 0$ верно.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$