Тригонометрия Примеры

y = h (x) + 2

$y = h (x) + 2$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем

$h (x)$ из обеих частей уравнения.

$y - h x = 2$

Этап 1.1.2

Изменим порядок

$y$ и

$- h x$ .

$- h x + y = 2$

Этап 1.2

Разделим каждый член на

$2$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{h x}{2} + \frac{y}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 1.3

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна

$1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна

$1$ .

$\frac{y}{2} - \frac{h x}{2} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная

$h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат,

$k$ — сдвиг по оси Y от начала координат,

$a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид

$(h, k)$ . Подставим значения

$h$ и

$k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем

$c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2^{1} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 + 2^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{2 + 2}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим

$2$ и

$2$ .

$\sqrt{4}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Этап 5.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив

$a$ к

$h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$a$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(\sqrt{2}, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя

$a$ из

$h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения

$h$ ,

$a$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(- \sqrt{2}, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид

$(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив

$c$ к

$h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$c$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(2, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя

$c$ из

$h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения

$h$ ,

$c$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2^{1} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2 + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2 + 2^{1}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2 + 2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3

Добавим

$2$ и

$2$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.2

Умножим

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ на

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ на

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.4.2

Разделим

$\sqrt{2}$ на

$1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения

$b$ и

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 9.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 9.3.1.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 9.3.1.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 9.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{1}}{2}$

Этап 9.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{2}$

Этап 9.3.2

Разделим

$2$ на

$2$ .

$1$

Этап 10

Асимптоты имеют вид

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Этап 11

Упростим

$1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим

$1 \cdot x$ и

$0$ .

$y = 1 \cdot x$

Этап 11.2

Умножим

$x$ на

$1$ .

$y = x$

Этап 12

Упростим

$- 1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим

$- 1 \cdot x$ и

$0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Этап 12.2

Перепишем

$- 1 x$ в виде

$- x$ .

$y = - x$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = x, y = - x$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр:

$(0, 0)$

Вершины:

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Фокусы:

$(2, 0), (- 2, 0)$

Эксцентриситет:

$\sqrt{2}$

Фокальный параметр:

$1$

Асимптоты:

$y = x$ ,

$y = - x$

Этап 15