Тригонометрия Примеры

$\tan (2 a) > 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $a$ из тангенса.

$2 a > \arctan (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$2 a > \frac{π}{4}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 a > \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 a > \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$a > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$a > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$a > \frac{π}{8}$

Этап 4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 a = π + \frac{π}{4}$

Этап 5

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 5.1.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$2 a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 5.1.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

$2 a = \frac{5 \cdot π}{4}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 a = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 a = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$a = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$a = \frac{5 π}{8}$

Этап 6

Найдем период $\tan (2 a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 7

Период функции $\tan (2 a)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$a = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$a = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Найдем область определения $\tan (2 a) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим аргумент в $\tan (2 a)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 a = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Разделим каждый член $2 a = \frac{π}{2} + π n$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $2 a = \frac{π}{2} + π n$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$a = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 9.2.3.1.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Этап 9.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$a = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $a$ , при которых выражение определено.

${a | a \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 0.59$

Этап 11.1.2

Заменим $a$ на $0.59$ в исходном неравенстве.

$\tan (2 (0.59)) > 1$

Этап 11.1.3

Левая часть $2.42726636$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 1$

Этап 11.2.2

Заменим $a$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\tan (2 (1)) > 1$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 2.18503986$ не больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ Истина

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ Ложь

$\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ Истина

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < a < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 13