Тригонометрия Примеры

$y = \frac{4 \log_{3} (x)}{11 x^{3}}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{\log_{3} (x^{4})}{11 x^{3}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 1.2

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 0$

$m = 3$

Этап 1.4

Поскольку $n < m$ , ось X, $y = 0$ , является горизонтальной асимптотой.

$y = 0$

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{4 \log_{3} (1)}{11 {(1)}^{3}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $4 \log_{3} (1)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1^{4})}{11 \cdot 1^{3}}$

Этап 2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1^{4})}{11 \cdot 1}$

Этап 2.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1)}{11 \cdot 1}$

Этап 2.2.3.2

Логарифм $1$ по основанию $3$ равен $0$ .

$f (1) = \frac{0}{11 \cdot 1}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $11$ на $1$ .

$f (1) = \frac{0}{11}$

Этап 2.2.4.2

Разделим $0$ на $11$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{11 {(2)}^{3}}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $4 \log_{3} (2)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{11 \cdot 2^{3}}$

Этап 3.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{11 \cdot 8}$

Этап 3.2.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (16)}{11 \cdot 8}$

Этап 3.2.4

Умножим $11$ на $8$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (16)}{88}$

Этап 3.2.5

Перепишем $\log_{3} (16)$ в виде $\log_{3} (2^{4})$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{88}$

Этап 3.2.6

Развернем $\log_{3} (2^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{88}$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $4$ и $88$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \log_{3} (2)$ .

$f (2) = \frac{4 (\log_{3} (2))}{88}$

Этап 3.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $88$ .

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{4 \cdot 22}$

Этап 3.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{4 \cdot 22}$

Этап 3.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{\log_{3} (2)}{22}$

Этап 3.2.8

Перепишем $\frac{\log_{3} (2)}{22}$ в виде $\frac{1}{22} \log_{3} (2)$ .

$f (2) = \frac{1}{22} \cdot \log_{3} (2)$

Этап 3.2.9

Упростим $\frac{1}{22} \log_{3} (2)$ путем переноса $\frac{1}{22}$ под логарифм.

$f (2) = \log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$

Этап 3.2.10

Окончательный ответ: $\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$ .

$\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$

Этап 3.3

Преобразуем $\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$ в десятичное представление.

$y = 0.02867862$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{4 \log_{3} (3)}{11 {(3)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $4 \log_{3} (3)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (3) = \frac{\log_{3} (3^{4})}{11 \cdot 3^{3}}$

Этап 4.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \frac{\log_{3} (3^{4})}{11 \cdot 27}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $4$ из степени.

$f (3) = \frac{4 \log_{3} (3)}{11 \cdot 27}$

Этап 4.2.3.2

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (3) = \frac{4 \cdot 1}{11 \cdot 27}$

Этап 4.2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (3) = \frac{4}{11 \cdot 27}$

Этап 4.2.4

Умножим $11$ на $27$ .

$f (3) = \frac{4}{297}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $\frac{4}{297}$ .

$\frac{4}{297}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{4}{297}$ в десятичное представление.

$y = 0.\overline{013468}$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 0), (2, 0.02867862), (3, 0.\overline{013468})$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.029 \\ 3 & 0.013 \end{array}$

Этап 6