Тригонометрия Примеры

$y = 4 (x - 13) (x + 5)$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $4 (x - 13) (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x + 4 \cdot - 13) (x + 5)$

Этап 1.1.1.1.2

Умножим $4$ на $- 13$ .

$(4 x - 52) (x + 5)$

Этап 1.1.1.1.3

Развернем $(4 x - 52) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x (x + 5) - 52 (x + 5)$

Этап 1.1.1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 52 (x + 5)$

Этап 1.1.1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Этап 1.1.1.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Этап 1.1.1.1.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Этап 1.1.1.1.4.1.2

Умножим $5$ на $4$ .

$4 x^{2} + 20 x - 52 x - 52 \cdot 5$

Этап 1.1.1.1.4.1.3

Умножим $- 52$ на $5$ .

$4 x^{2} + 20 x - 52 x - 260$

Этап 1.1.1.1.4.2

Вычтем $52 x$ из $20 x$ .

$4 x^{2} - 32 x - 260$

Этап 1.1.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 32$

$c = - 260$

Этап 1.1.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $- 32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 16}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Этап 1.1.1.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 1.1.1.4.2.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 1.1.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 260 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.1

Возведем $- 32$ в степень $2$ .

$e = - 260 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = - 260 - \frac{1024}{16}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3

Разделим $1024$ на $16$ .

$e = - 260 - 1 \cdot 64$

Этап 1.1.1.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$e = - 260 - 64$

Этап 1.1.1.5.2.2

Вычтем $64$ из $- 260$ .

$e = - 324$

Этап 1.1.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - 4)}^{2} - 324$ .

$4 {(x - 4)}^{2} - 324$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 4 {(x - 4)}^{2} - 324$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 4$

$h = 4$

$k = - 324$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, - 324)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{16}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - \frac{5183}{16})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 4$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{5185}{16}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(4, - 324)$

Фокус: $(4, - \frac{5183}{16})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = - \frac{5185}{16}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(4, - 324)$

Фокус: $(4, - \frac{5183}{16})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = - \frac{5185}{16}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 4 ((3) - 13) ((3) + 5)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $13$ из $3$ .

$f (3) = 4 \cdot (- 10 ((3) + 5))$

Этап 2.2.2

Умножим $4$ на $- 10$ .

$f (3) = - 40 ((3) + 5)$

Этап 2.2.3

Добавим $3$ и $5$ .

$f (3) = - 40 \cdot 8$

Этап 2.2.4

Умножим $- 40$ на $8$ .

$f (3) = - 320$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $- 320$ .

$- 320$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 3$ равно $- 320$ .

$y = - 320$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 4 ((2) - 13) ((2) + 5)$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $13$ из $2$ .

$f (2) = 4 \cdot (- 11 ((2) + 5))$

Этап 2.5.2

Умножим $4$ на $- 11$ .

$f (2) = - 44 ((2) + 5)$

Этап 2.5.3

Добавим $2$ и $5$ .

$f (2) = - 44 \cdot 7$

Этап 2.5.4

Умножим $- 44$ на $7$ .

$f (2) = - 308$

Этап 2.5.5

Окончательный ответ: $- 308$ .

$- 308$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $- 308$ .

$y = - 308$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = 4 ((5) - 13) ((5) + 5)$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вычтем $13$ из $5$ .

$f (5) = 4 \cdot (- 8 ((5) + 5))$

Этап 2.8.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f (5) = - 32 ((5) + 5)$

Этап 2.8.3

Добавим $5$ и $5$ .

$f (5) = - 32 \cdot 10$

Этап 2.8.4

Умножим $- 32$ на $10$ .

$f (5) = - 320$

Этап 2.8.5

Окончательный ответ: $- 320$ .

$- 320$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 5$ равно $- 320$ .

$y = - 320$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = 4 ((6) - 13) ((6) + 5)$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вычтем $13$ из $6$ .

$f (6) = 4 \cdot (- 7 ((6) + 5))$

Этап 2.11.2

Умножим $4$ на $- 7$ .

$f (6) = - 28 ((6) + 5)$

Этап 2.11.3

Добавим $6$ и $5$ .

$f (6) = - 28 \cdot 11$

Этап 2.11.4

Умножим $- 28$ на $11$ .

$f (6) = - 308$

Этап 2.11.5

Окончательный ответ: $- 308$ .

$- 308$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 6$ равно $- 308$ .

$y = - 308$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 308 \\ 3 & - 320 \\ 4 & - 324 \\ 5 & - 320 \\ 6 & - 308 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(4, - 324)$

Фокус: $(4, - \frac{5183}{16})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = - \frac{5185}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 308 \\ 3 & - 320 \\ 4 & - 324 \\ 5 & - 320 \\ 6 & - 308 \end{array}$

Этап 4