Тригонометрия Примеры

$y = \ln (\sin (x))$

Этап 1

Найдем область определения для проверки непрерывности выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\ln (\sin (x))$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sin (x) > 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x > \arcsin (0)$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x > 0$

Этап 1.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 1.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 1.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.7

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

Этап 1.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Проверим значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 1.2.9.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (2) > 0$

Этап 1.2.9.1.3

Левая часть $0.90929742$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.2.9.2

Проверим значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 1.2.9.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) > 0$

Этап 1.2.9.2.3

Левая часть $- 0.95892427$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.2.9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < π$ Истина

$π < x < 2 π$ Ложь

$0 < x < π$ Истина

$π < x < 2 π$ Ложь

Этап 1.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x = 0 + 2 π n, x = π + 2 π n}$

Обозначение построения множества:

${x | x = 0 + 2 π n, x = π + 2 π n}$

Этап 2

Поскольку область определения — это не все вещественные числа, $\ln (\sin (x))$ не является непрерывной на множестве всех вещественных чисел.

Не является непрерывной

Этап 3