Тригонометрия Примеры

$x^{2} - 5 y^{2} = 6$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{6}{5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Этап 1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = - \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}$

Этап 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}}$

Этап 1.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 6 + x^{2}}{5}}$

Этап 1.4.2

Перепишем $\sqrt{\frac{- 6 + x^{2}}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 1.4.3

Умножим $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 1.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 1.4.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 1.4.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 1.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 1.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 1.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 1.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5}$

Этап 1.4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 6 + x^{2}) \cdot 5}}{5}$

Этап 1.4.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(- 6 + x^{2}) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Этап 1.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Этап 1.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Этап 1.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Этап 2

Find the domain to determine if the expression is continuous.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 (- 6 + x^{2}) \geq 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $5 (- 6 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot - 6 + 5 x^{2} \geq 0$

Этап 2.2.1.2

Умножим $5$ на $- 6$ .

$- 30 + 5 x^{2} \geq 0$

Этап 2.2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - \sqrt{6}, \sqrt{6}$

Этап 2.2.3

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{6}$

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$

$x > \sqrt{6}$

Этап 2.2.4

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 2.2.4.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$5 (- 6 + {(- 5)}^{2}) \geq 0$

Этап 2.2.4.1.3

Левая часть $95$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.2.4.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.2.4.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$5 (- 6 + {(0)}^{2}) \geq 0$

Этап 2.2.4.2.3

Левая часть $- 30$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.2.4.3

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 2.2.4.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$5 (- 6 + {(5)}^{2}) \geq 0$

Этап 2.2.4.3.3

Левая часть $95$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.2.4.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{6}$ Истина

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ Ложь

$x > \sqrt{6}$ Истина

$x < - \sqrt{6}$ Истина

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ Ложь

$x > \sqrt{6}$ Истина

Этап 2.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \sqrt{6}$ или $x \geq \sqrt{6}$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - \sqrt{6}, x \geq \sqrt{6}}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - \sqrt{6}, x \geq \sqrt{6}}$

Этап 3

Поскольку область определения — это не все вещественные числа, $\frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$ не является непрерывной на множестве всех вещественных чисел.

Не является непрерывной

Этап 4