Тригонометрия Примеры

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 28 x^{2} + 50 x + 75$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$f (x) = - 2 x^{3} + 50 x + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Этап 2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3} + 50 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} + 50 x + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $50 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 25 + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 25)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} - 25) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Этап 3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} - 5^{2}) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$f (x) = - 2 x ((x + 5) (x - 5)) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Этап 5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 75$

Этап 6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + u^{2} - 28 u + 75$

Этап 7

Разложим $u^{2} - 28 u + 75$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $75$ , а сумма — $- 28$ .

$- 25, - 3$

Этап 7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (u - 25) (u - 3)$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 25) (x^{2} - 3)$

Этап 9

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 3)$

Этап 10

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$

Этап 11

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $- 2 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $- 2 x (x + 5) (x - 5)$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$

Этап 11.2

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $(x + 5) (x - 5) (- 2 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 x + x^{2} - 3)$

Этап 12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 u + u^{2} - 3)$

Этап 13

Разложим $- 2 u + u^{2} - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) ((u - 3) (u + 1))$

Этап 14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) ((x - 3) (x + 1))$

Этап 14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (x - 3) (x + 1)$