Тригонометрия Примеры

$(\cos (x) + \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1

Упростим $(\cos (x) + \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(\cos (x) + \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) (1 - \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) (- \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (x) - \cos (x) \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.3

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \cos (x) \sin (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.6

Умножим $- \sin (x) \cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.6.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Этап 2

Упростим $\sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = \sin (x)$ и $b = \cos (x)$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = (\sin (x) + \cos (x)) (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 2.2

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = (\sin (x) + \cos (x)) (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.3

Применим формулу Пифагора.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = (\sin (x) + \cos (x)) (1 - \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.4

Развернем $(\sin (x) + \cos (x)) (1 - \sin (x) \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) (1 - \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) (1 - \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) (1 - \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.5.3

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.5.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.5.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \sin (x) \cos (x)$

Этап 2.5.6

Умножим $- \cos (x) \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x)$

Этап 2.5.6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x)$

Этап 2.5.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)$

Этап 2.5.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x)$

Этап 3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 0, - 0.1, 0.1, \frac{1}{5}, - 0.3, 0.3, - \frac{2}{5}$

Этап 4