Тригонометрия Примеры

$\frac{3 + 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Этап 1

Упростим $\frac{3 + 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 + 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1 + 3 \sin (x)$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Этап 1.3

Чтобы записать $\frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 12 = 0$

Этап 1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (x) (1 + \sin (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$ на $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 12 = 0$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{3 \cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} - 12 = 0$

Этап 1.4.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{3 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))) + 3 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))) + 3 (\cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))) + 3 (\cos (x) \cos (x))$ .

$\frac{3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.2

Развернем $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.3.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.3.1.3

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.3.1.4

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.3.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.3.2

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.4

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.4.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.5

Перепишем $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.5.1

Применим формулу Пифагора.

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + 1)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (2 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 + 2 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{3 (2 \cdot 1 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.5.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \sin (x)$ .

$\frac{3 (2 (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

$\frac{3 \cdot 2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.1.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $1 + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Этап 1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{\cos (x)} - 12 = 0$

Этап 1.6.3

Разделим дроби.

$\frac{6}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 12 = 0$

Этап 1.6.4

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{6}{1} \sec (x) - 12 = 0$

Этап 1.6.5

Разделим $6$ на $1$ .

$6 \sec (x) - 12 = 0$

Этап 2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3