Тригонометрия Примеры

2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть

u = \sin (x)

$u = \sin (x)$ . Подставим

u

$u$ вместо

\sin (x)

$\sin (x)$ для всех.

2 u^{2} - u = 0

$2 u^{2} - u = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель

u

$u$ из

2 u^{2} - u

$2 u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель

u

$u$ из

2 u^{2}

$2 u^{2}$ .

u (2 u) - u = 0

$u (2 u) - u = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель

u

$u$ из

- u

$- u$ .

u (2 u) + u \cdot - 1 = 0

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель

u

$u$ из

u (2 u) + u \cdot - 1

$u (2 u) + u \cdot - 1$ .

u (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) = 0$

u (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

\sin (x)

$\sin (x)$ .

\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем

\sin (x)

$\sin (x)$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем

\sin (x)

$\sin (x)$ к

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Этап 3.2

Решим

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из синуса.

x = \arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ :

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Этап 3.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

π

$π$ и найдем решение во втором квадранте.

x = π - 0

$x = π - 0$

Этап 3.2.4

Вычтем

0

$0$ из

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Этап 3.2.5

Найдем период

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 3.2.6

Период функции

\sin (x)

$\sin (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 4

Приравняем

2 \sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем

2 \sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ к

0

$0$ .

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим

1

$1$ к обеим частям уравнения.

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ на

2

$2$ .

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим

\sin (x)

$\sin (x)$ на

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из синуса.

x = \arcsin (\frac{1}{2})

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Точное значение

\arcsin (\frac{1}{2})

$\arcsin (\frac{1}{2})$ :

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Этап 4.2.5

π

$π$ и найдем решение во втором квадранте.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 4.2.6

Упростим

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Чтобы записать

π

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Объединим

π

$π$ и

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 4.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.1

Перенесем

6

$6$ влево от

π

$π$ .

x = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 4.2.6.3.2

Вычтем

π

$π$ из

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 4.2.7

Найдем период

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 4.2.8

Период функции

\sin (x)

$\sin (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых

\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$ верно.

x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 6

Объединим

2 π n

$2 π n$ и

π + 2 π n

$π + 2 π n$ в

π n

$π n$ .

x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$