Тригонометрия Примеры

$\log_{7} (x) = 1 - \log_{7} (x - 6)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 6) = 1$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (x (x - 6)) = 1$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot - 6) = 1$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{7} (x^{2} + x \cdot - 6) = 1$

Этап 4.2

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$\log_{7} (x^{2} - 6 x) = 1$

Этап 5

Перепишем $\log_{7} (x^{2} - 6 x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$7^{1} = x^{2} - 6 x$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 6 x = 7^{1}$ .

$x^{2} - 6 x = 7$

Этап 6.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Этап 6.3

Разложим $x^{2} - 6 x - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $- 6$ .

$- 7, 1$

Этап 6.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Этап 6.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 6.5

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 6.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 7, - 1$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log_{7} (x) = 1 - \log_{7} (x - 6)$ истинным.

$x = 7$