Тригонометрия Примеры

$\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((2 x - 1) (4 x + 3)) = 2$

Этап 1.2

Развернем $(2 x - 1) (4 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (2 x (4 x + 3) - 1 (4 x + 3)) = 2$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x + 3)) = 2$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{6} (2 \cdot (4 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 x^{2}) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Этап 1.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Этап 1.3.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 1 \cdot 3) = 2$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 3) = 2$

Этап 1.3.2

Вычтем $4 x$ из $6 x$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$6^{2} = 8 x^{2} + 2 x - 3$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$

Этап 3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 36$

Этап 3.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{2} + 2 x - 3 - 36 = 0$

Этап 3.3.2

Вычтем $36$ из $- 3$ .

$8 x^{2} + 2 x - 39 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 8$ , $b = 2$ и $c = - 39$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 39)}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot - 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 32 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 32$ на $- 39$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 1248}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.6.1.3

Добавим $4$ и $1248$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{1252}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $1252$ в виде $2^{2} \cdot 313$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $1252$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (313)}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 313}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{313}}{8}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}, - \frac{1 + \sqrt{313}}{8}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$ истинным.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Десятичная форма:

$x = 2.08647575 \dots$