Тригонометрия Примеры

$\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$\log (3 x - 4), 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\log (3 x - 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$ умножим на $\log (3 x - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$ на $\log (3 x - 4)$ .

$\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} \log (3 x - 4) = 2 \log (3 x - 4)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\log (3 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} \log (3 x - 4) = 2 \log (3 x - 4)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\log (16 - x^{2}) = 2 \log (3 x - 4)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \log (3 x - 4)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (16 - x^{2}) = \log ({(3 x - 4)}^{2})$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$16 - x^{2} = {(3 x - 4)}^{2}$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(3 x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем.

$16 - x^{2} = 0 + 0 + {(3 x - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем ${(3 x - 4)}^{2}$ в виде $(3 x - 4) (3 x - 4)$ .

$16 - x^{2} = (3 x - 4) (3 x - 4)$

Этап 3.2.1.3

Развернем $(3 x - 4) (3 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 - x^{2} = 3 x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4)$

Этап 3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 - x^{2} = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x - 4)$

Этап 3.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 - x^{2} = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 - x^{2} = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.2.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$16 - x^{2} = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.2.1.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 - x^{2} = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.2.1.4.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.2.1.4.1.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 12 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.2.1.4.1.5

Умножим $3$ на $- 4$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 12 x - 12 x - 4 \cdot - 4$

Этап 3.2.1.4.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 12 x - 12 x + 16$

Этап 3.2.1.4.2

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$

Этап 3.2.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x^{2} - 24 x + 16 = 16 - x^{2}$

Этап 3.2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} - 24 x + 16 + x^{2} = 16$

Этап 3.2.3.2

Добавим $9 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$10 x^{2} - 24 x + 16 = 16$

Этап 3.2.4

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$10 x^{2} - 24 x + 16 - 16 = 0$

Этап 3.2.5

Объединим противоположные члены в $10 x^{2} - 24 x + 16 - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $16$ из $16$ .

$10 x^{2} - 24 x + 0 = 0$

Этап 3.2.5.2

Добавим $10 x^{2} - 24 x$ и $0$ .

$10 x^{2} - 24 x = 0$

Этап 3.2.6

Вынесем множитель $2 x$ из $10 x^{2} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $10 x^{2}$ .

$2 x (5 x) - 24 x = 0$

Этап 3.2.6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 24 x$ .

$2 x (5 x) + 2 x (- 12) = 0$

Этап 3.2.6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (5 x) + 2 x (- 12)$ .

$2 x (5 x - 12) = 0$

Этап 3.2.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$5 x - 12 = 0$

Этап 3.2.8

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.9

Приравняем $5 x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Приравняем $5 x - 12$ к $0$ .

$5 x - 12 = 0$

Этап 3.2.9.2

Решим $5 x - 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 12$

Этап 3.2.9.2.2

Разделим каждый член $5 x = 12$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 12$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{12}{5}$

Этап 3.2.9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{12}{5}$

Этап 3.2.9.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{12}{5}$

Этап 3.2.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (5 x - 12) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{12}{5}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$ истинным.

$x = \frac{12}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{12}{5}$

Десятичная форма:

$x = 2.4$

Форма смешанных чисел:

$x = 2 \frac{2}{5}$