Введите задачу...
Тригонометрия Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Пусть . Подставим вместо для всех.
Этап 1.2
Разложим на множители, используя метод группировки.
Этап 1.2.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 1.2.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 3
Этап 3.1
Приравняем к .
Этап 3.2
Решим относительно .
Этап 3.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 3.2.2
Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь из-под знака косеканса.
Этап 3.2.3
Упростим правую часть.
Этап 3.2.3.1
Точное значение : .
Этап 3.2.4
Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение во втором квадранте.
Этап 3.2.5
Упростим .
Этап 3.2.5.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.2.5.2
Объединим дроби.
Этап 3.2.5.2.1
Объединим и .
Этап 3.2.5.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.2.5.3
Упростим числитель.
Этап 3.2.5.3.1
Перенесем влево от .
Этап 3.2.5.3.2
Вычтем из .
Этап 3.2.6
Найдем период .
Этап 3.2.6.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 3.2.6.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 3.2.6.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 3.2.6.4
Разделим на .
Этап 3.2.7
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4
Этап 4.1
Приравняем к .
Этап 4.2
Решим относительно .
Этап 4.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 4.2.2
Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь из-под знака косеканса.
Этап 4.2.3
Упростим правую часть.
Этап 4.2.3.1
Точное значение : .
Этап 4.2.4
The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from , to find a reference angle. Next, add this reference angle to to find the solution in the third quadrant.
Этап 4.2.5
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Этап 4.2.5.1
Вычтем из .
Этап 4.2.5.2
Результирующий угол является положительным, меньшим и отличается от на полный оборот.
Этап 4.2.6
Найдем период .
Этап 4.2.6.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.2.6.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.2.6.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.2.6.4
Разделим на .
Этап 4.2.7
Добавим к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.
Этап 4.2.7.1
Добавим к , чтобы найти положительный угол.
Этап 4.2.7.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.2.7.3
Объединим дроби.
Этап 4.2.7.3.1
Объединим и .
Этап 4.2.7.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.2.7.4
Упростим числитель.
Этап 4.2.7.4.1
Умножим на .
Этап 4.2.7.4.2
Вычтем из .
Этап 4.2.7.5
Перечислим новые углы.
Этап 4.2.8
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
Этап 6
Объединим ответы.
, для любого целого