Тригонометрия Примеры

{csc}^{2} (x) - csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть

u = csc (x)

$u = \csc (x)$ . Подставим

u

$u$ вместо

csc (x)

$\csc (x)$ для всех.

u^{2} - u - 2 = 0

$u^{2} - u - 2 = 0$

Этап 1.2

Разложим

u^{2} - u - 2

$u^{2} - u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 2

$- 2$ , а сумма —

- 1

$- 1$ .

- 2, 1

$- 2, 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

csc (x)

$\csc (x)$ .

(csc (x) - 2) (csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

(csc (x) - 2) (csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем

csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем

csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ к

0

$0$ .

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

csc (x) = 2

$\csc (x) = 2$

Этап 3.2.2

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из-под знака косеканса.

x = arccsc (2)

$x = arccsc (2)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение

arccsc (2)

$arccsc (2)$ :

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Этап 3.2.4

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

π

$π$ и найдем решение во втором квадранте.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 3.2.5

Упростим

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Чтобы записать

π

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 3.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Объединим

π

$π$ и

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 3.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 3.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Перенесем

$6$ влево от

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 3.2.5.3.2

Вычтем

$π$ из

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 3.2.6

Найдем период

$\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 3.2.7

Период функции

$\csc (x)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 4

Приравняем

$\csc (x) + 1$ к

$0$ , затем решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем

$\csc (x) + 1$ к

$0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим

$\csc (x) + 1 = 0$ относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем

$1$ из обеих частей уравнения.

$\csc (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь

$x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение

$arccsc (- 1)$ :

$- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем

$2 π$ из

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 4.2.5.2

Результирующий угол

$\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим

$2 π$ и отличается от

$2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.2.6

Найдем период

$\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7

Добавим

$2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Добавим

$2 π$ к

$- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 4.2.7.2

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.3.1

Объединим

$2 π$ и

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.4.1

Умножим

$2$ на

$2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.2.7.4.2

Вычтем

$π$ из

$4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 4.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.2.8

Период функции

$\csc (x)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 6

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого

$n$