Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (x) = {(- \frac{1}{5})}^{2} + 1$

Этап 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- \frac{1}{5})}^{2} + 1}$

Этап 2

Упростим $\pm \sqrt{{(- \frac{1}{5})}^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{5}$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2} + 1}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

Этап 2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{1 \frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

Этап 2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 1}$

Этап 2.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{25} + 1}$

Этап 2.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{25}{25}}$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1 + 25}{25}}$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $25$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{26}{25}}$

Этап 2.9

Перепишем $\sqrt{\frac{26}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}$

Этап 2.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 2.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{5}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}, - \frac{\sqrt{26}}{5}$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$

Этап 5

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (\frac{\sqrt{26}}{5})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $arccsc (\frac{\sqrt{26}}{5})$ .

$x = 1.37340076$

Этап 5.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 1.37340076$

Этап 5.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 1.37340076$

Этап 5.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 1.37340076$

Этап 5.4.3

Вычтем $1.37340076$ из $3.14159265$ .

$x = 1.76819188$

Этап 5.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.6

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.37340076 + 2 π n, 1.76819188 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- \frac{\sqrt{26}}{5})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $arccsc (- \frac{\sqrt{26}}{5})$ .

$x = - 1.37340076$

Этап 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$

Этап 6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 6.4.2

Результирующий угол $4.51499342$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 4.51499342$

Этап 6.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $2 π$ к $- 1.37340076$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.37340076 + 2 π$

Этап 6.6.2

Вычтем $1.37340076$ из $2 π$ .

$4.90978454$

Этап 6.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 4.90978454$

Этап 6.7

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 4.51499342 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = 1.37340076 + 2 π n, 1.76819188 + 2 π n, 4.51499342 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $1.37340076 + 2 π n$ и $4.51499342 + 2 π n$ в $1.37340076 + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, 1.76819188 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $1.76819188 + 2 π n$ и $4.90978454 + 2 π n$ в $1.76819188 + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, 1.76819188 + π n$ , для любого целого $n$