Тригонометрия Примеры

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\cot^{4} (x)$ в виде ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = \cot^{2} (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cot^{2} (x)$ для всех.

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 4 u + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cot^{2} (x) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cot^{2} (x) - 3$ к $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $\cot^{2} (x) - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\cot^{2} (x) = 3$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Этап 3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Этап 3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Этап 3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 3.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Этап 3.2.5

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Этап 3.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Точное значение $arccot (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 3.2.5.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{6}$

Этап 3.2.5.4

Упростим $π + \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 3.2.5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 3.2.5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Этап 3.2.5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Этап 3.2.5.4.3.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 3.2.5.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.5.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.5.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.6

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Этап 3.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Точное значение $arccot (- \sqrt{3})$ : $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Этап 3.2.6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.4.1

Добавим $2 π$ к $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Этап 3.2.6.4.2

Результирующий угол $\frac{11 π}{6}$ является положительным и отличается от $\frac{5 π}{6} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 3.2.6.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.6.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.7

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Объединим $\frac{π}{6} + π n$ и $\frac{7 π}{6} + π n$ в $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.8.2

Объединим $\frac{5 π}{6} + π n$ и $\frac{11 π}{6} + π n$ в $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cot^{2} (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cot^{2} (x) - 1$ к $0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cot^{2} (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cot^{2} (x) = 1$

Этап 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

Этап 4.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cot (x) = 1$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cot (x) = - 1$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cot (x) = 1, - 1$

Этап 4.2.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

Этап 4.2.6

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (1)$

Этап 4.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Точное значение $arccot (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6.3

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6.4

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 4.2.6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 4.2.6.4.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 4.2.6.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.6.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.7

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- 1)$

Этап 4.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.1

Точное значение $arccot (- 1)$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Этап 4.2.7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.4.1

Добавим $2 π$ к $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Этап 4.2.7.4.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{4}$ является положительным и отличается от $\frac{3 π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 4.2.7.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.7.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.7.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$