Тригонометрия Примеры

Risolvere per x cot(x)^4-4cot(x)^2+3=0
Этап 1
Разложим левую часть уравнения на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Перепишем в виде .
Этап 1.2
Пусть . Подставим вместо для всех.
Этап 1.3
Разложим на множители, используя метод группировки.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 1.3.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 1.4
Заменим все вхождения на .
Этап 2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 3
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Приравняем к .
Этап 3.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 3.2.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.3.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 3.2.3.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 3.2.3.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 3.2.4
Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для .
Этап 3.2.5
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.5.1
Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь из котангенса.
Этап 3.2.5.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.5.2.1
Точное значение : .
Этап 3.2.5.3
Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 3.2.5.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.5.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.2.5.4.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.5.4.2.1
Объединим и .
Этап 3.2.5.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.2.5.4.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.5.4.3.1
Перенесем влево от .
Этап 3.2.5.4.3.2
Добавим и .
Этап 3.2.5.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.5.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 3.2.5.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 3.2.5.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 3.2.5.5.4
Разделим на .
Этап 3.2.5.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 3.2.6
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.6.1
Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь из котангенса.
Этап 3.2.6.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.6.2.1
Точное значение : .
Этап 3.2.6.3
The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from to find the solution in the third quadrant.
Этап 3.2.6.4
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.6.4.1
Добавим к .
Этап 3.2.6.4.2
Результирующий угол является положительным и отличается от на полный оборот.
Этап 3.2.6.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.6.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 3.2.6.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 3.2.6.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 3.2.6.5.4
Разделим на .
Этап 3.2.6.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 3.2.7
Перечислим все решения.
, для любого целого
Этап 3.2.8
Объединим решения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.8.1
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 3.2.8.2
Объединим и в .
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Приравняем к .
Этап 4.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 4.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 4.2.3
Любой корень из равен .
Этап 4.2.4
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.4.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 4.2.4.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 4.2.4.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 4.2.5
Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для .
Этап 4.2.6
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.1
Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь из котангенса.
Этап 4.2.6.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.2.1
Точное значение : .
Этап 4.2.6.3
Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 4.2.6.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.2.6.4.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.4.2.1
Объединим и .
Этап 4.2.6.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.2.6.4.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.4.3.1
Перенесем влево от .
Этап 4.2.6.4.3.2
Добавим и .
Этап 4.2.6.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.2.6.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.2.6.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.2.6.5.4
Разделим на .
Этап 4.2.6.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4.2.7
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.7.1
Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь из котангенса.
Этап 4.2.7.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.7.2.1
Точное значение : .
Этап 4.2.7.3
The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from to find the solution in the third quadrant.
Этап 4.2.7.4
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.7.4.1
Добавим к .
Этап 4.2.7.4.2
Результирующий угол является положительным и отличается от на полный оборот.
Этап 4.2.7.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.7.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.2.7.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.2.7.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.2.7.5.4
Разделим на .
Этап 4.2.7.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4.2.8
Перечислим все решения.
, для любого целого
Этап 4.2.9
Объединим ответы.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого