Тригонометрия Примеры

$\cot^{2} (x) - 8 \cot (x) + 12 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cot (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cot (x)$ для всех.

$u^{2} - 8 u + 12 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} - 8 u + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 8$ .

$- 6, - 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 6) (u - 2) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (x)$ .

$(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (x) - 6 = 0$

$\cot (x) - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cot (x) - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cot (x) - 6$ к $0$ .

$\cot (x) - 6 = 0$

Этап 3.2

Решим $\cot (x) - 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$\cot (x) = 6$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (6)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Найдем значение $arccot (6)$ .

$x = 0.16514867$

Этап 3.2.4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

Этап 3.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.16514867$

Этап 3.2.5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

Этап 3.2.5.3

Добавим $3.14159265$ и $0.16514867$ .

$x = 3.30674133$

Этап 3.2.6

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cot (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cot (x) - 2$ к $0$ .

$\cot (x) - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cot (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\cot (x) = 2$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (2)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Найдем значение $arccot (2)$ .

$x = 0.4636476$

Этап 4.2.4

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Этап 4.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Этап 4.2.5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Этап 4.2.5.3

Добавим $3.14159265$ и $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Этап 4.2.6

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.7

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$ верно.

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $0.16514867 + π n$ и $3.30674133 + π n$ в $0.16514867 + π n$ .

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2

Объединим $0.4636476 + π n$ и $3.60524026 + π n$ в $0.4636476 + π n$ .

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n$ , для любого целого $n$