Тригонометрия Примеры

$\cot^{2} (x) + 6 \cot (x) - 2 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Добавим $36$ и $8$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Перепишем $44$ в виде $2^{2} \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $44$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$u = - 3 \pm \sqrt{11}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

Этап 6

Подставим $\cot (x)$ вместо $u$ .

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$

$\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\cot (x) = 0.31662479$

Этап 8.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (0.31662479)$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Найдем значение $arccot (0.31662479)$ .

$x = 1.26415806$

Этап 8.4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

Этап 8.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.26415806$

Этап 8.5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

Этап 8.5.3

Добавим $3.14159265$ и $1.26415806$ .

$x = 4.40575072$

Этап 8.6

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 8.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 8.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8.7

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\cot (x) = - 6.31662479$

Этап 9.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- 6.31662479)$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Найдем значение $arccot (- 6.31662479)$ .

$x = 2.9845833$

Этап 9.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.9845833 - (3.14159265)$

Этап 9.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Добавим $2 π$ к $2.9845833 - (3.14159265)$ .

$x = 2.9845833 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 9.5.2

Результирующий угол $6.12617595$ является положительным и отличается от $2.9845833 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 6.12617595$

Этап 9.6

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 9.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 9.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 9.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9.7

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $1.26415806 + π n$ и $4.40575072 + π n$ в $1.26415806 + π n$ .

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11.2

Объединим $2.9845833 + π n$ и $6.12617595 + π n$ в $2.9845833 + π n$ .

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n$ , для любого целого $n$