Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (x) + 6 \cos (x) + 4 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) + 4 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Вычтем $16$ из $36$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 3 \pm \sqrt{5}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Этап 6

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}$

$\cos (x) = - 3 - \sqrt{5}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\cos (x) = - 0.76393202$

Этап 8.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 0.76393202)$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Найдем значение $\arccos (- 0.76393202)$ .

$x = 2.44018101$

Этап 8.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 2.44018101$

Этап 8.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 2.44018101$

Этап 8.5.2

Упростим $2 (3.14159265) - 2.44018101$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.44018101$

Этап 8.5.2.2

Вычтем $2.44018101$ из $6.2831853$ .

$x = 3.84300429$

Этап 8.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.44018101 + 2 π n, 3.84300429 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - 3 - \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\cos (x) = - 5.23606797$

Этап 9.2

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 5.23606797$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = 2.44018101 + 2 π n, 3.84300429 + 2 π n$ , для любого целого $n$