Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Этап 1.1.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = (\cos (x) + 1) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.4

Умножим $\cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.4.2

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.4.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (x)$ из $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.6.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.6.3

Разделим дроби.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.6.4

Переведем $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ в $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.6.5

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.1.6.6

Переведем $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ в $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Этап 3

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Этап 4

Заменим $\cot^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1 = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Этап 6

Упростим $\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $- 1$ .

$\csc^{2} (x) - 1 + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Этап 6.2

Применим формулу Пифагора.

$\cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Этап 6.3

Добавим $\cot^{2} (x)$ и $\cot^{2} (x)$ .

$2 \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Этап 7

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = 2 \cot^{2} (x)$

Этап 8

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $2 \cot^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

Этап 8.2.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} = 0$

Этап 8.2.3

Применим правило умножения к $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Этап 8.2.4

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Этап 8.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Этап 8.3

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Этап 8.4

Чтобы записать $- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

Этап 8.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

Этап 8.5.2

Умножим $\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ на $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.5.3

Изменим порядок множителей в $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.7.1.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.7.1.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.7.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.7.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.7.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.7.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.8

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Этап 8.9

Разделим дроби.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 8.10

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cot (x) = 0$

Этап 8.11

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} \cot (x) = 0$

Этап 8.12

Объединим $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)}$ и $\cot (x)$ .

$\frac{(\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \cot (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} = 0$

Этап 8.13

Разделим дроби.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 8.14

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)} = 0$

Этап 8.15

Перепишем $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Этап 8.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.16.1

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Этап 8.16.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x)) = 0$

Этап 8.17

Умножим $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.17.1

Объединим $\cot (x)$ и $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} \csc (x) = 0$

Этап 8.17.2

Объединим $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1}$ и $\csc (x)$ .

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1} = 0$

Этап 8.18

Изменим порядок множителей в $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} = 0$

Этап 9

Приравняем числитель к нулю.

$\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$

Этап 10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Этап 10.2

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ .

$\cot (x) = 0$

Этап 10.2.2

Решим $\cot (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (0)$

Этап 10.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 10.2.2.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 10.2.2.4

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 10.2.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 10.2.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 10.2.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 10.2.2.4.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.2.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.2.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 10.2.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 10.2.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10.2.2.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.3

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ .

$\csc (x) = 0$

Этап 10.3.2

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 10.4

Приравняем $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Приравняем $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ к $0$ .

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Этап 10.4.2

Решим $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Этап 10.4.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Этап 10.4.2.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.1

Изменим порядок членов.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 10.4.2.2.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 10.4.2.2.2.2.2

Запишем $2$ как $1$ плюс $1$

$- \cos^{2} (x) + (1 + 1) \cos (x) - 1 = 0$

Этап 10.4.2.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 10.4.2.2.2.2.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 10.4.2.2.2.2.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 10.4.2.2.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 10.4.2.2.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) - 1 (- \cos (x) + 1) = 0$

Этап 10.4.2.2.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 10.4.2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 10.4.2.2.4

Приравняем $- \cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.4.1

Приравняем $- \cos (x) + 1$ к $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Этап 10.4.2.2.4.2

Решим $- \cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (x) = - 1$

Этап 10.4.2.2.4.2.2

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.4.2.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.4.2.2.4.2.2.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.4.2.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Этап 10.4.2.2.4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 10.4.2.2.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.4.2.4.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 10.4.2.2.4.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 10.4.2.2.4.2.6

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 10.4.2.2.4.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.4.2.2.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.4.2.2.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.4.2.2.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.4.2.2.4.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.4.2.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{π}{2} + π n$ и $\frac{3 π}{2} + π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11.2

Объединим $2 π n$ и $2 π + 2 π n$ в $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Исключим решения, которые не делают $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ истинным.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$