Тригонометрия Примеры

Risolvere per x (cos(x))/(sec(x)-1)=(cos(x)+1)/(tan(x)^2)
Этап 1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 1.1.2
Переведем в .
Этап 2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 2.1.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 2.1.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 2.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.4
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.1
Объединим и .
Этап 2.1.4.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.2.1
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.1.4.2.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.1.4.2.2
Добавим и .
Этап 2.1.5
Умножим на .
Этап 2.1.6
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.6.2
Умножим на .
Этап 2.1.6.3
Разделим дроби.
Этап 2.1.6.4
Переведем в .
Этап 2.1.6.5
Разделим на .
Этап 2.1.6.6
Переведем в .
Этап 3
Поскольку находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.
Этап 4
Заменим на на основе тождества .
Этап 5
Упорядочим многочлен.
Этап 6
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Перенесем .
Этап 6.2
Применим формулу Пифагора.
Этап 6.3
Добавим и .
Этап 7
Поскольку находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.
Этап 8
Перенесем все члены с в левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 8.2
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 8.2.2
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 8.2.3
Применим правило умножения к .
Этап 8.2.4
Объединим и .
Этап 8.2.5
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 8.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 8.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 8.5
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.5.1
Умножим на .
Этап 8.5.2
Умножим на .
Этап 8.5.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 8.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.7
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.7.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.7.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.7.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 8.7.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 8.7.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 8.7.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.7.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.7.3.2
Сократим общий множитель.
Этап 8.7.3.3
Перепишем это выражение.
Этап 8.7.4
Умножим на .
Этап 8.8
Вынесем множитель из .
Этап 8.9
Разделим дроби.
Этап 8.10
Переведем в .
Этап 8.11
Переведем в .
Этап 8.12
Объединим и .
Этап 8.13
Разделим дроби.
Этап 8.14
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 8.15
Перепишем в виде произведения.
Этап 8.16
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.16.1
Переведем в .
Этап 8.16.2
Переведем в .
Этап 8.17
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.17.1
Объединим и .
Этап 8.17.2
Объединим и .
Этап 8.18
Изменим порядок множителей в .
Этап 9
Приравняем числитель к нулю.
Этап 10
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 10.2
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.1
Приравняем к .
Этап 10.2.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.2.1
Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь из котангенса.
Этап 10.2.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.2.2.1
Точное значение : .
Этап 10.2.2.3
Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 10.2.2.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.2.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 10.2.2.4.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.2.4.2.1
Объединим и .
Этап 10.2.2.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 10.2.2.4.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.2.4.3.1
Перенесем влево от .
Этап 10.2.2.4.3.2
Добавим и .
Этап 10.2.2.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 10.2.2.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 10.2.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 10.2.2.5.4
Разделим на .
Этап 10.2.2.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 10.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.1
Приравняем к .
Этап 10.3.2
Множество значений косеканса: и . Поскольку не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.
Нет решения
Нет решения
Этап 10.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.1
Приравняем к .
Этап 10.4.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.1
Заменим на .
Этап 10.4.2.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.1
Вычтем из .
Этап 10.4.2.2.2
Разложим на множители методом группировки
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.2.1
Изменим порядок членов.
Этап 10.4.2.2.2.2
Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.4.2.2.2.2.2
Запишем как плюс
Этап 10.4.2.2.2.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 10.4.2.2.2.2.4
Умножим на .
Этап 10.4.2.2.2.2.5
Умножим на .
Этап 10.4.2.2.2.3
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.2.3.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 10.4.2.2.2.3.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 10.4.2.2.2.4
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 10.4.2.2.3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 10.4.2.2.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.4.1
Приравняем к .
Этап 10.4.2.2.4.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.4.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 10.4.2.2.4.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.4.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 10.4.2.2.4.2.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.4.2.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 10.4.2.2.4.2.2.2.2
Разделим на .
Этап 10.4.2.2.4.2.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.4.2.2.3.1
Разделим на .
Этап 10.4.2.2.4.2.3
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 10.4.2.2.4.2.4
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.4.2.4.1
Точное значение : .
Этап 10.4.2.2.4.2.5
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 10.4.2.2.4.2.6
Вычтем из .
Этап 10.4.2.2.4.2.7
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.2.2.4.2.7.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 10.4.2.2.4.2.7.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 10.4.2.2.4.2.7.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 10.4.2.2.4.2.7.4
Разделим на .
Этап 10.4.2.2.4.2.8
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 10.4.2.2.5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 10.5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 11
Объединим ответы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 11.2
Объединим и в .
, для любого целого
, для любого целого
Этап 12
Исключим решения, которые не делают истинным.
, для любого целого