Тригонометрия Примеры

$\frac{5}{x + 4} - 4 = \frac{9 x + 16}{x + 6}$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$\frac{5}{x + 4} = \frac{9 x + 16}{x + 6} + 4$

Этап 1.2

Разобьем дробь $\frac{9 x + 16}{x + 6}$ на две дроби.

$\frac{5}{x + 4} = \frac{9 x}{x + 6} + \frac{16}{x + 6} + 4$

Этап 1.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{5}{x + 4} = \frac{9 x}{x + 6} + \frac{16}{x + 6} + \frac{4}{1}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{5}{x + 4} = \frac{9 x}{x + 6} + \frac{16}{x + 6} + \frac{4}{1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}$

Этап 1.3.3

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{5}{x + 4} = \frac{9 x}{x + 6} + \frac{16}{x + 6} + \frac{4 (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{x + 4} = \frac{9 x + 16 + 4 (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5}{x + 4} = \frac{9 x + 16 + 4 x + 4 \cdot 6}{x + 6}$

Этап 1.5.2

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{5}{x + 4} = \frac{9 x + 16 + 4 x + 24}{x + 6}$

Этап 1.6

Добавим $9 x$ и $4 x$ .

$\frac{5}{x + 4} = \frac{13 x + 16 + 24}{x + 6}$

Этап 1.7

Добавим $16$ и $24$ .

$\frac{5}{x + 4} = \frac{13 x + 40}{x + 6}$

Этап 1.8

Разобьем дробь $\frac{13 x + 40}{x + 6}$ на две дроби.

$\frac{5}{x + 4} = \frac{13 x}{x + 6} + \frac{40}{x + 6}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 4, x + 6, x + 6$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 6$ является само значение $x + 6$ .

$(x + 6) = x + 6$

$(x + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x + 4, x + 6, x + 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 4) (x + 6)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{5}{x + 4} = \frac{13 x}{x + 6} + \frac{40}{x + 6}$ умножим на $(x + 4) (x + 6)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{5}{x + 4} = \frac{13 x}{x + 6} + \frac{40}{x + 6}$ на $(x + 4) (x + 6)$ .

$\frac{5}{x + 4} ((x + 4) (x + 6)) = \frac{13 x}{x + 6} ((x + 4) (x + 6)) + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{x + 4} ((x + 4) (x + 6)) = \frac{13 x}{x + 6} ((x + 4) (x + 6)) + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$5 (x + 6) = \frac{13 x}{x + 6} ((x + 4) (x + 6)) + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 5 \cdot 6 = \frac{13 x}{x + 6} ((x + 4) (x + 6)) + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.2.3

Умножим $5$ на $6$ .

$5 x + 30 = \frac{13 x}{x + 6} ((x + 4) (x + 6)) + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $x + 6$ из $(x + 4) (x + 6)$ .

$5 x + 30 = \frac{13 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4)) + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$5 x + 30 = \frac{13 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4)) + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$5 x + 30 = 13 x (x + 4) + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 30 = 13 x \cdot x + 13 x \cdot 4 + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$5 x + 30 = 13 (x \cdot x) + 13 x \cdot 4 + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x + 30 = 13 x^{2} + 13 x \cdot 4 + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.3.1.4

Умножим $4$ на $13$ .

$5 x + 30 = 13 x^{2} + 52 x + \frac{40}{x + 6} ((x + 4) (x + 6))$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $x + 6$ из $(x + 4) (x + 6)$ .

$5 x + 30 = 13 x^{2} + 52 x + \frac{40}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$5 x + 30 = 13 x^{2} + 52 x + \frac{40}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$5 x + 30 = 13 x^{2} + 52 x + 40 (x + 4)$

Этап 3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 30 = 13 x^{2} + 52 x + 40 x + 40 \cdot 4$

Этап 3.3.1.7

Умножим $40$ на $4$ .

$5 x + 30 = 13 x^{2} + 52 x + 40 x + 160$

Этап 3.3.2

Добавим $52 x$ и $40 x$ .

$5 x + 30 = 13 x^{2} + 92 x + 160$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$13 x^{2} + 92 x + 160 = 5 x + 30$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$13 x^{2} + 92 x + 160 - 5 x = 30$

Этап 4.2.2

Вычтем $5 x$ из $92 x$ .

$13 x^{2} + 87 x + 160 = 30$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$13 x^{2} + 87 x + 160 - 30 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $30$ из $160$ .

$13 x^{2} + 87 x + 130 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 13$ , $b = 87$ и $c = 130$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 87 \pm \sqrt{87^{2} - 4 \cdot (13 \cdot 130)}}{2 \cdot 13}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $87$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{7569 - 4 \cdot 13 \cdot 130}}{2 \cdot 13}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 13 \cdot 130$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{7569 - 52 \cdot 130}}{2 \cdot 13}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 52$ на $130$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{7569 - 6760}}{2 \cdot 13}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $6760$ из $7569$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{809}}{2 \cdot 13}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $13$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{809}}{26}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{87 - \sqrt{809}}{26}, - \frac{87 + \sqrt{809}}{26}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{87 - \sqrt{809}}{26}, - \frac{87 + \sqrt{809}}{26}$

Десятичная форма:

$x = - 2.25219518 \dots, - 4.44011251 \dots$