Тригонометрия Примеры

$4^{2 x} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4^{2 x}$ в виде ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = 4^{x}$ . Подставим $u$ вместо $4^{x}$ для всех.

$u^{2} - 63 u - 64 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 63 u - 64$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 64$ , а сумма — $- 63$ .

$- 64, 1$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 64) (u + 1) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $4^{x} - 64$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $4^{x} - 64$ к $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Этап 3.2

Решим $4^{x} - 64 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$4^{x} = 64$

Этап 3.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$4^{x} = 4^{3}$

Этап 3.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 3$

Этап 4

Приравняем $4^{x} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4^{x} + 1$ к $0$ .

$4^{x} + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $4^{x} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4^{x} = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{x}) = \ln (- 1)$

Этап 4.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 1)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.2.4

Нет решения для $4^{x} = - 1$

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$ верно.

$x = 3$