Тригонометрия Примеры

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $6 \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1.2

Вычтем $9 \sin (x) \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2

Заменим $3 \sin^{2} (x)$ на $3 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 4

Упорядочим многочлен.

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.1.1.2

Изменим порядок $- 3 \cos^{2} (x)$ и $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.1.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.1.2

Применим формулу Пифагора.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим круглые скобки.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 6.2

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 6.4

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 6.4.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

Этап 6.5

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 \sin (x) - 2$ .

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Этап 6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \sin (x) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \sin (x)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Этап 6.6.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Этап 6.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Этап 6.7

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 8

Приравняем $3 \sin (x) + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $3 \sin (x) + 2$ к $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

Этап 8.2

Решим $3 \sin (x) + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 \sin (x) = - 2$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $3 \sin (x) = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $3 \sin (x) = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

Этап 8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

Этап 8.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

Этап 8.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{2}{3})$ .

$x = - 0.72972765$

Этап 8.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

Этап 8.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 8.2.6.2

Результирующий угол $3.8713203$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 3.8713203$

Этап 8.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- 0.72972765$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.72972765 + 2 π$

Этап 8.2.8.2

Вычтем $0.72972765$ из $2 π$ .

$5.55345765$

Этап 8.2.8.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.55345765$

Этап 8.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Приравняем $3 \cos (x) - \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $3 \cos (x) - \sin (x)$ к $0$ .

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 9.2

Решим $3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9.2.2.2

Разделим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9.2.3

Разделим дроби.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9.2.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9.2.6

Разделим дроби.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 9.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 9.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 9.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = 0$

Этап 9.2.10

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 3$

Этап 9.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 9.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 9.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 9.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.11.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 3$

Этап 9.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (3)$

Этап 9.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.13.1

Найдем значение $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Этап 9.2.14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Этап 9.2.15

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.15.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Этап 9.2.15.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Этап 9.2.15.3

Добавим $3.14159265$ и $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Этап 9.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 9.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 9.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 9.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9.2.17

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ верно.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим $1.24904577 + π n$ и $4.39063842 + π n$ в $1.24904577 + π n$ .

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$ , для любого целого $n$