Тригонометрия Примеры

$\frac{2}{z - 1} - \frac{2}{3} = \frac{4}{z + 1}$

Этап 1

Добавим $\frac{2}{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{2}{z - 1} = \frac{4}{z + 1} + \frac{2}{3}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$z - 1, z + 1, 3$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.6

Множителем $z - 1$ является само значение $z - 1$ .

$(z - 1) = z - 1$

$(z - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $z + 1$ является само значение $z + 1$ .

$(z + 1) = z + 1$

$(z + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $z - 1, z + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(z - 1) (z + 1)$

Этап 2.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 (z - 1) (z + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2}{z - 1} = \frac{4}{z + 1} + \frac{2}{3}$ умножим на $3 (z - 1) (z + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{z - 1} = \frac{4}{z + 1} + \frac{2}{3}$ на $3 (z - 1) (z + 1)$ .

$\frac{2}{z - 1} (3 (z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{2}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.2.2

Умножим $3 \frac{2}{z - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{z - 1}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.2.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $z - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$6 (z + 1) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 z + 6 \cdot 1 = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.2.5

Умножим $6$ на $1$ .

$6 z + 6 = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 z + 6 = 3 \frac{4}{z + 1} ((z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3.1.2

Умножим $3 \frac{4}{z + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{4}{z + 1}$ .

$6 z + 6 = \frac{3 \cdot 4}{z + 1} ((z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$6 z + 6 = \frac{12}{z + 1} ((z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $z + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $z + 1$ из $(z - 1) (z + 1)$ .

$6 z + 6 = \frac{12}{z + 1} ((z + 1) (z - 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$6 z + 6 = \frac{12}{z + 1} ((z + 1) (z - 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$6 z + 6 = 12 (z - 1) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 z + 6 = 12 z + 12 \cdot - 1 + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3.1.5

Умножим $12$ на $- 1$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (z - 1) (z + 1)$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + \frac{2}{3} (3 ((z - 1) (z + 1)))$

Этап 3.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + \frac{2}{3} (3 ((z - 1) (z + 1)))$

Этап 3.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 ((z - 1) (z + 1))$

Этап 3.3.1.7

Развернем $(z - 1) (z + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z (z + 1) - 1 (z + 1))$

Этап 3.3.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z + z \cdot 1 - 1 (z + 1))$

Этап 3.3.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z + z \cdot 1 - 1 z - 1 \cdot 1)$

Этап 3.3.1.8

Объединим противоположные члены в $z \cdot z + z \cdot 1 - 1 z - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Изменим порядок множителей в членах $z \cdot 1$ и $- 1 z$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z + 1 z - 1 z - 1 \cdot 1)$

Этап 3.3.1.8.2

Вычтем $1 z$ из $1 z$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z + 0 - 1 \cdot 1)$

Этап 3.3.1.8.3

Добавим $z \cdot z$ и $0$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z - 1 \cdot 1)$

Этап 3.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1

Умножим $z$ на $z$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 3.3.1.9.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z^{2} - 1)$

Этап 3.3.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 z^{2} + 2 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 z^{2} - 2$

Этап 3.3.2

Вычтем $2$ из $- 12$ .

$6 z + 6 = 12 z + 2 z^{2} - 14$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $z$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$12 z + 2 z^{2} - 14 = 6 z + 6$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $z$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $6 z$ из обеих частей уравнения.

$12 z + 2 z^{2} - 14 - 6 z = 6$

Этап 4.2.2

Вычтем $6 z$ из $12 z$ .

$6 z + 2 z^{2} - 14 = 6$

Этап 4.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$6 z + 2 z^{2} - 14 - 6 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $6$ из $- 14$ .

$6 z + 2 z^{2} - 20 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6 z + 2 z^{2} - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 z$ .

$2 (3 z) + 2 z^{2} - 20 = 0$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 z^{2}$ .

$2 (3 z) + 2 (z^{2}) - 20 = 0$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 20$ .

$2 (3 z) + 2 z^{2} + 2 \cdot - 10 = 0$

Этап 4.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 z) + 2 z^{2}$ .

$2 (3 z + z^{2}) + 2 \cdot - 10 = 0$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 z + z^{2}) + 2 \cdot - 10$ .

$2 (3 z + z^{2} - 10) = 0$

Этап 4.5.2

Пусть $u = z$ . Подставим $u$ вместо $z$ для всех.

$2 (3 u + u^{2} - 10) = 0$

Этап 4.5.3

Разложим $3 u + u^{2} - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $3$ .

$- 2, 5$

Этап 4.5.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((u - 2) (u + 5)) = 0$

Этап 4.5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Заменим все вхождения $u$ на $z$ .

$2 ((z - 2) (z + 5)) = 0$

Этап 4.5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (z - 2) (z + 5) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z - 2 = 0$

$z + 5 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $z - 2$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $z - 2$ к $0$ .

$z - 2 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$z = 2$

Этап 4.8

Приравняем $z + 5$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $z + 5$ к $0$ .

$z + 5 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$z = - 5$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (z - 2) (z + 5) = 0$ верно.

$z = 2, - 5$