Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x} = \frac{6}{x^{2}} - \frac{1}{3}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, x^{2}, 3$

Этап 2.2

Since $x, x^{2}, 3$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 3$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.6

НОК $1, 1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 2.9

НОК $x^{1}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 2.10

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 2.11

НОК $x, x^{2}, 3$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x} = \frac{6}{x^{2}} - \frac{1}{3}$ умножим на $3 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} = \frac{6}{x^{2}} - \frac{1}{3}$ на $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (3 x^{2}) = \frac{6}{x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{x} x^{2} = \frac{6}{x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} x^{2} = \frac{6}{x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{3}{x} (x \cdot x) = \frac{6}{x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x} (x \cdot x) = \frac{6}{x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.3.3

Перепишем это выражение.

$3 x = \frac{6}{x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x = 3 \frac{6}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.2

Умножим $3 \frac{6}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{6}{x^{2}}$ .

$3 x = \frac{3 \cdot 6}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $3$ на $6$ .

$3 x = \frac{18}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$3 x = \frac{18}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 x = 18 - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$3 x = 18 + \frac{- 1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 x = 18 + \frac{- 1}{3} (3 (x^{2}))$

Этап 3.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$3 x = 18 + \frac{- 1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$3 x = 18 - x^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x + x^{2} = 18$

Этап 4.2

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$3 x + x^{2} - 18 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$3 u + u^{2} - 18 = 0$

Этап 4.3.2

Разложим $3 u + u^{2} - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $3$ .

$- 3, 6$

Этап 4.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 6) = 0$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 3) (x + 6) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.6

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 3, - 6$