Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

Этап 1.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ на $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

Этап 1.1.4.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ на $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Этап 1.1.4.3

Изменим порядок множителей в $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) + 1 + \frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)}}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Этап 1.1.7

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Этап 1.1.8

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} = 1$

Этап 2

Умножим обе части на $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Этап 3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Этап 3.1.1.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)} = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Этап 3.1.1.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ на $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$

Этап 3.2.1.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Этап 3.2.1.3

Развернем $(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Этап 3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Этап 3.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Этап 3.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Этап 3.2.1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Этап 3.2.1.4.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Этап 3.2.1.4.1.3

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Этап 3.2.1.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1$

Этап 3.2.1.4.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 3.2.1.5

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \csc (x)$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $\sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) = 2 + \csc (x)$

Этап 4.1.2

Вычтем $\csc (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x) = 2$

Этап 4.1.3

Объединим противоположные члены в $\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычтем $\sin (x)$ из $\sin (x)$ .

$0 + 2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

Этап 4.1.3.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

Этап 4.1.3.3

Вычтем $\csc (x)$ из $\csc (x)$ .

$2 + 0 = 2$

Этап 4.1.3.4

Добавим $2$ и $0$ .

$2 = 2$

Этап 4.2

Поскольку $2 = 2$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$