Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 1.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 1.1.3.2

Умножим $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 1.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 1.1.5.2

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 1.1.5.3

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Этап 2

Умножим обе части на $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$2 = 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Этап 3.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$2 = 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Этап 3.2.1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 = 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Этап 3.2.1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Этап 3.2.1.3

Развернем $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Этап 3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Этап 3.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Этап 3.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Этап 3.2.1.4.1.2

Умножим $- \cos (x)$ на $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Этап 3.2.1.4.1.3

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)))$

Этап 3.2.1.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x))$

Этап 3.2.1.4.1.5

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.5.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

Этап 3.2.1.4.1.5.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

Этап 3.2.1.4.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1})$

Этап 3.2.1.4.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x))$

Этап 3.2.1.4.2

Добавим $- \cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 0 - \cos^{2} (x))$

Этап 3.2.1.4.3

Добавим $1$ и $0$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos^{2} (x))$

Этап 3.2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Этап 3.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$2 = 2$

Этап 4

Поскольку $2 = 2$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$