Тригонометрия Примеры

${(\frac{12}{13})}^{2} + \cos^{2} (x) = 1$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило умножения к $\frac{12}{13}$ .

$\frac{12^{2}}{13^{2}} + \cos^{2} (x) = 1$

Этап 1.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{144}{13^{2}} + \cos^{2} (x) = 1$

Этап 1.3

Возведем $13$ в степень $2$ .

$\frac{144}{169} + \cos^{2} (x) = 1$

Этап 2

Перенесем все члены без $\cos (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\frac{144}{169}$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (x) = 1 - \frac{144}{169}$

Этап 2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\cos^{2} (x) = \frac{169}{169} - \frac{144}{169}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos^{2} (x) = \frac{169 - 144}{169}$

Этап 2.4

Вычтем $144$ из $169$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{25}{169}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{25}{169}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{169}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{169}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{169}}$

Этап 4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm \frac{5}{\sqrt{169}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $169$ в виде $13^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{5}{\sqrt{13^{2}}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm \frac{5}{13}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{5}{13}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{5}{13}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{5}{13}, - \frac{5}{13}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{5}{13}$

$\cos (x) = - \frac{5}{13}$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{5}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{5}{13})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{5}{13})$ .

$x = 1.1760052$

Этап 7.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.1760052$

Этап 7.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.1760052$

Этап 7.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.1760052$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.1760052$

Этап 7.4.2.2

Вычтем $1.1760052$ из $6.2831853$ .

$x = 5.1071801$

Этап 7.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.1760052 + 2 π n, 5.1071801 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{5}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{5}{13})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{5}{13})$ .

$x = 1.96558744$

Этап 8.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.96558744$

Этап 8.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.96558744$

Этап 8.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.96558744$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.96558744$

Этап 8.4.2.2

Вычтем $1.96558744$ из $6.2831853$ .

$x = 4.31759786$

Этап 8.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.96558744 + 2 π n, 4.31759786 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = 1.1760052 + 2 π n, 5.1071801 + 2 π n, 1.96558744 + 2 π n, 4.31759786 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $1.1760052 + 2 π n$ и $4.31759786 + 2 π n$ в $1.1760052 + π n$ .

$x = 1.1760052 + π n, 5.1071801 + 2 π n, 1.96558744 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $5.1071801 + 2 π n$ и $1.96558744 + 2 π n$ в $1.96558744 + π n$ .

$x = 1.1760052 + π n, 1.96558744 + π n$ , для любого целого $n$