Тригонометрия Примеры

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

Этап 1

Подставим $u = z^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4 \sqrt{2}$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.5

Найдем экспоненту.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Умножим $16$ на $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Вычтем $64$ из $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Перепишем $- 32$ в виде $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Перепишем $\sqrt{- 1 (32)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.9

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.10

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.10.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.12

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 6

Подставим вещественное значение $u = z^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 7

Решим первое уравнение относительно $z$ .

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Этап 8.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Этап 8.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Этап 8.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Этап 9

Решим второе уравнение относительно $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 10

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 10.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Этап 10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Этап 10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Этап 11

Решением $z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ является $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ .

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$