Тригонометрия Примеры

$\sec (x) + \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 1.1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$1 + \sin (x) = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 6

Умножим $\cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 6.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \sin (x) = \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{1 - \sin (x)}$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 7

Вычтем $\frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$ из обеих частей уравнения.

$1 + \sin (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8

Упростим $1 + \sin (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $\sin (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 + \frac{\sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.4

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{\sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.8

Применим формулу Пифагора.

$1 + \frac{\sin (x) - 1 \cdot 1}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.1.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - 1}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $\sin (x) - 1$ и $1 - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin (x)$ .

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x)) - 1}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ .

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x) + 1)}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.2.4

Изменим порядок членов.

$1 + \frac{- 1 (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.2.5

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{- 1 (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Этап 8.3.2.6

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - 1 = 0$

Этап 8.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 = 0$

Этап 9

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$