Тригонометрия Примеры

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

Этап 2

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Этап 2.2.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

Этап 2.2.1.4

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

Этап 2.2.1.5

Разделим дроби.

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

Этап 2.2.1.6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

Этап 2.2.1.7

Разделим $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ на $1$ .

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ в виде ${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Развернем $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2.1.2

Умножим $- \sin (x)$ на $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2.1.3

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2.1.5

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.5.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2.1.5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $- \sin (x)$ и $\sin (x)$ .

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.3

Применим формулу Пифагора.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.5

Упростим.

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.6

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\tan (x)$ .

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.6.2

Выразим $\cos (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Этап 4.2.1.6.3

Сократим общие множители.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Этап 5.2.2

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Этап 5.2.3

Решим $\sin (x) = \sin (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$x = x$

Этап 5.2.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - x = 0$

Этап 5.2.3.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 = 0$

Этап 5.2.3.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Все вещественные числа

Этап 5.2.4

Решим $\sin (x) = - \sin (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перенесем все члены с $\sin (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Добавим $\sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Этап 5.2.4.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.4.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2.4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 5.2.4.6

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.4.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.4.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.4.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.4.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.4.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$