Тригонометрия Примеры

$x - \sqrt{4 x - 4} = 4$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{4 x - 4} = 4 - x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{4 x - 4})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x - 4}$ в виде ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Умножим ${({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x - 4)}^{1} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

$4 x - 4 = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(4 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(4 - x)}^{2}$ в виде $(4 - x) (4 - x)$ .

$4 x - 4 = (4 - x) (4 - x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(4 - x) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 4 = 4 (4 - x) - x (4 - x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 4 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 4 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$4 x - 4 = 16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$4 x - 4 = 16 - 8 x + x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$16 - 8 x + x^{2} = 4 x - 4$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$16 - 8 x + x^{2} - 4 x = - 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 8 x$ .

$16 + x^{2} - 12 x = - 4$

Этап 4.3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$16 + x^{2} - 12 x + 4 = 0$

Этап 4.4

Добавим $16$ и $4$ .

$x^{2} - 12 x + 20 = 0$

Этап 4.5

Разложим $x^{2} - 12 x + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $- 12$ .

$- 10, - 2$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x - 2) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 4.8

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 10, 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $x - \sqrt{4 x - 4} = 4$ истинным.

$x = 10$