Тригонометрия Примеры

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

$2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$

Этап 2

Приравняем $x^{4} + 5 x^{2} - 36$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $x^{4} + 5 x^{2} - 36$ к $0$ .

$x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Этап 2.2

Решим $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 5 u - 36 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2.2

Разложим $u^{2} + 5 u - 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 36$ , а сумма — $5$ .

$- 4, 9$

Этап 2.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u + 9) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 9 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 2.2.5

Приравняем $u + 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $u + 9$ к $0$ .

$u + 9 = 0$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$u = - 9$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 4) (u + 9) = 0$ верно.

$u = 4, - 9$

Этап 2.2.7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Этап 2.2.8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 4$

Этап 2.2.9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.2.9.2

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.2.9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.2.9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.2.9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.2.9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 2.2.10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Этап 2.2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 9$

Этап 2.2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 2.2.11.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 2.2.11.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.2.11.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.2.11.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.2.11.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 2.2.11.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 2.2.11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 2.2.11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 2.2.11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 2.2.12

Решением $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ является $x = 2, - 2, 3 i, - 3 i$ .

$x = 2, - 2, 3 i, - 3 i$

Этап 3

Приравняем $2 x^{2} + 9 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x^{2} + 9 x - 5$ к $0$ .

$2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$2 x^{2} + 9 (x) - 5 = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Запишем $9$ как $- 1$ плюс $10$

$2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5 = 0$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5 = 0$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1) = 0$

Этап 3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 5) = 0$

Этап 3.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 3.2.3

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.2.3.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.4

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 5$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$ верно.

$x = 2, - 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$