Тригонометрия Примеры

$(h^{2} - 16 h + 64) + (k^{2} - 12 k + 36) = 100$

Этап 1

Добавим $64$ и $36$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 = 100$

Этап 2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $100$ из обеих частей уравнения.

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100 = 0$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $100$ из $100$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 0 = 0$

Этап 2.2.2

Добавим $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k$ и $0$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 16$ и $c = k^{2} - 12 k$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $h$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (k^{2} - 12 k))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} - 4 (- 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Умножим $- 12$ на $- 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} + 48 k}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Изменим порядок членов.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{- 4 k^{2} + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Перепишем $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 k^{2}$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $48 k$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- k^{2}) + 4 (12 k)$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 64 = - 64$ , а сумма — $b = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 k$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 (k) + 64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.2

Запишем $12$ как $- 4$ плюс $16$

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + (- 4 + 16) k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} - 4 k + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k^{2} - 4 k) + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (k (- k - 4) - 16 (- k - 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- k - 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7

Перепишем $4 (- k - 4) (k - 16)$ в виде $2^{2} ((- k - 4) (k - 16))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$ .

$h = 8 \pm \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$h = 8 + \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

$h = 8 - \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$