Тригонометрия Примеры

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3.2

Разделим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 4

Разделим дроби.

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 6

Разделим $0$ на $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0 \sec (x)$

Этап 7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0$

Этап 8

Добавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Этап 9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 11

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 12

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 12.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 12.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 12.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 13

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 13.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 14

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{3} + π n$ , для любого целого $n$