Тригонометрия Примеры

$- \sin (π x) = 1$

Этап 1

Разделим каждый член $- \sin (π x) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $- \sin (π x) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.2.2

Разделим $\sin (π x)$ на $1$ .

$\sin (π x) = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\sin (π x) = - 1$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$π x = \arcsin (- 1)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$π x = - \frac{π}{2}$

Этап 4

Разделим каждый член $π x = - \frac{π}{2}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $π x = - \frac{π}{2}$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 4.3.2.2

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 4.3.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 4.3.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$π x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$π x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$π x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $π x = \frac{3 π}{2}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $π x = \frac{3 π}{2}$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 6.3.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 7

Найдем период $\sin (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 7.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 7.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 8

Добавим $2$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $2$ к $- \frac{1}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{1}{2} + 2$

Этап 8.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 8.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 - 1}{2}$

Этап 8.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 8.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 9

Период функции $\sin (π x)$ равен $2$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{3}{2} + 2 n$ , для любого целого $n$