Тригонометрия Примеры

$\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $\sin (70)$ .

$0.93969262 \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2

Найдем значение $\cos (70)$ .

$0.93969262 \cos (x) - 1 \cdot (0.34202014 \sin (x)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.3

Умножим $- 1$ на $0.34202014$ .

$0.93969262 \cos (x) - 0.34202014 \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Используем тождество для решения уравнения. В этом тождестве $θ$ представляет угол, образованный при нанесении точки $(a, b)$ на график, поэтому его можно найти с помощью $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , где $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ и $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Этап 3

Преобразуем уравнение, чтобы найти значение $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{0.93969262}{- 0.34202014})$

Этап 4

Возьмем обратный тангенс, чтобы решить уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $0.93969262$ на $- 0.34202014$ .

$θ = \tan^{-1} (- 2.74747741)$

Этап 4.2

Найдем значение $\tan^{-1} (- 2.74747741)$ .

$θ = - 70$

Этап 5

Решим, чтобы найти значение $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $- 0.34202014$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{0.11697777 + {(0.93969262)}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $0.93969262$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{0.11697777 + 0.88302222}$

Этап 5.3

Добавим $0.11697777$ и $0.88302222$ .

$R = \sqrt{1}$

Этап 6

Подставим известные значения в уравнение.

$(\sqrt{1}) \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Разделим каждый член $\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\sqrt{1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $\sin (x - 70)$ на $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1}}$ на $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

Этап 7.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1}}$ на $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

Этап 7.3.3.2

Возведем $\sqrt{1}$ в степень $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

Этап 7.3.3.3

Возведем $\sqrt{1}$ в степень $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

Этап 7.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

Этап 7.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{1}}^{2}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1}$ в виде $1^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

Этап 7.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

Этап 7.3.4

Найдем значение корня.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 7.3.5

Разделим $1$ на $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Этап 7.3.6

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x - 70 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 9

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $60$ .

$x - 70 = 60$

Этап 10

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $70$ к обеим частям уравнения.

$x = 60 + 70$

Этап 10.2

Добавим $60$ и $70$ .

$x = 130$

Этап 11

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$x - 70 = 180 - 60$

Этап 12

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вычтем $60$ из $180$ .

$x - 70 = 120$

Этап 12.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Добавим $70$ к обеим частям уравнения.

$x = 120 + 70$

Этап 12.2.2

Добавим $120$ и $70$ .

$x = 190$

Этап 13

Найдем период $\sin (x - 70)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 13.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 14

Период функции $\sin (x - 70)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 130 + 360 n, 190 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Исключим решения, которые не делают $\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ истинным.

Нет решения