Тригонометрия Примеры

Risolvere per x sin(2x)+ квадратный корень из 2cos(x)=0
Этап 1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2
Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.
Этап 3
Упростим каждую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1.1
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.2.1.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.2.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.2.1.2
Упростим.
Этап 3.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.1.2
Возведем в степень .
Этап 3.3.1.3
Умножим на .
Этап 4
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 4.2
Заменим на .
Этап 4.3
Упростим левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Применим формулу Пифагора.
Этап 4.3.2
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1
Применим формулу двойного угла для синуса.
Этап 4.3.2.2
Применим правило степени для распределения показателей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.2.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.2.2
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.3
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.4
Умножим на .
Этап 4.4
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.4.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.5
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 4.6
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.6.1
Приравняем к .
Этап 4.6.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.6.2.1
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 4.6.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.6.2.2.1
Точное значение : .
Этап 4.6.2.3
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 4.6.2.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.6.2.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.6.2.4.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.6.2.4.2.1
Объединим и .
Этап 4.6.2.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.6.2.4.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.6.2.4.3.1
Умножим на .
Этап 4.6.2.4.3.2
Вычтем из .
Этап 4.6.2.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.6.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.6.2.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.6.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.6.2.5.4
Разделим на .
Этап 4.6.2.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4.7
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.1
Приравняем к .
Этап 4.7.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.1
Заменим на на основе тождества .
Этап 4.7.2.2
Умножим на .
Этап 4.7.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.7.2.4
Умножим на .
Этап 4.7.2.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.5.1
Перенесем .
Этап 4.7.2.5.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.5.2.1
Возведем в степень .
Этап 4.7.2.5.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.7.2.5.3
Добавим и .
Этап 4.7.2.6
Упорядочим многочлен.
Этап 4.7.2.7
Подставим вместо .
Этап 4.7.2.8
Разложим левую часть уравнения на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.8.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.8.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.7.2.8.1.2
Перепишем в виде .
Этап 4.7.2.8.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.7.2.8.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 4.7.2.8.2
Перепишем в виде .
Этап 4.7.2.8.3
Разложим на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.8.3.1
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 4.7.2.8.3.2
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 4.7.2.9
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 4.7.2.10
Приравняем к .
Этап 4.7.2.11
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.11.1
Приравняем к .
Этап 4.7.2.11.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 4.7.2.12
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.12.1
Приравняем к .
Этап 4.7.2.12.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 4.7.2.13
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 4.7.2.14
Подставим вместо .
Этап 4.7.2.15
Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для .
Этап 4.7.2.16
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.16.1
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 4.7.2.16.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.16.2.1
Точное значение : .
Этап 4.7.2.16.3
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 4.7.2.16.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.16.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.7.2.16.4.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.16.4.2.1
Объединим и .
Этап 4.7.2.16.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.7.2.16.4.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.16.4.3.1
Умножим на .
Этап 4.7.2.16.4.3.2
Вычтем из .
Этап 4.7.2.16.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.16.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.7.2.16.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.7.2.16.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.7.2.16.5.4
Разделим на .
Этап 4.7.2.16.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4.7.2.17
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.17.1
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 4.7.2.17.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.17.2.1
Точное значение : .
Этап 4.7.2.17.3
Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 4.7.2.17.4
Вычтем из .
Этап 4.7.2.17.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.17.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.7.2.17.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.7.2.17.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.7.2.17.5.4
Разделим на .
Этап 4.7.2.17.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4.7.2.18
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.18.1
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 4.7.2.18.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.18.2.1
Точное значение : .
Этап 4.7.2.18.3
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 4.7.2.18.4
Вычтем из .
Этап 4.7.2.18.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.2.18.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.7.2.18.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.7.2.18.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.7.2.18.5.4
Разделим на .
Этап 4.7.2.18.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4.7.2.19
Перечислим все решения.
, для любого целого
Этап 4.7.2.20
Объединим ответы.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4.8
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 5
Объединим ответы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 5.2
Объединим и в .
, для любого целого
, для любого целого
Этап 6
Проверим каждое решение, подставив его в и решив.
, для любого целого