Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

Этап 1

Вычтем $\sin (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 \cos (x)}$ в виде ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило умножения к $- \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

Этап 3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

Этап 3.3.1.3

Умножим $\sin^{2} (2 x)$ на $1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\sin^{2} (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Этап 4.2

Заменим $\sin^{2} (2 x)$ на $1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

Этап 4.3

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим формулу Пифагора.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило умножения к $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 4.3.2.2.2

Применим правило умножения к $2 \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 4.3.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 4.3.2.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Этап 4.4

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Этап 4.6

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 4.6.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.6.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 4.6.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.6.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.6.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.6.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.6.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.6.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.6.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.6.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.6.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.6.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7

Приравняем $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ к $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Этап 4.7.2

Решим $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Этап 4.7.2.2

Умножим $1 - \cos^{2} (x)$ на $1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Этап 4.7.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Этап 4.7.2.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Этап 4.7.2.5

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.5.1

Перенесем $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 4.7.2.5.2

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.5.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 4.7.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

Этап 4.7.2.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

Этап 4.7.2.6

Упорядочим многочлен.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

Этап 4.7.2.7

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

Этап 4.7.2.8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.8.1

Вынесем множитель $- u$ из $- u^{3} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.8.1.1

Вынесем множитель $- u$ из $- u^{3}$ .

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

Этап 4.7.2.8.1.2

Перепишем $u$ в виде $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

Этап 4.7.2.8.1.3

Вынесем множитель $- u$ из $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

Этап 4.7.2.8.1.4

Вынесем множитель $- u$ из $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ .

$- u (u^{2} - 1) = 0$

Этап 4.7.2.8.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 4.7.2.8.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.8.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Этап 4.7.2.8.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

Этап 4.7.2.9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 4.7.2.10

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 4.7.2.11

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.11.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 4.7.2.11.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 4.7.2.12

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.12.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 4.7.2.12.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 4.7.2.13

Окончательным решением являются все значения, при которых $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 0, - 1, 1$

Этап 4.7.2.14

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

Этап 4.7.2.15

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

Этап 4.7.2.16

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.16.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 4.7.2.16.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.16.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.7.2.16.3

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 4.7.2.16.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.16.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.7.2.16.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.16.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.7.2.16.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.7.2.16.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.16.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.7.2.16.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.7.2.16.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.16.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.7.2.16.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.7.2.16.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.7.2.16.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.7.2.16.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7.2.17

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.17.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 4.7.2.17.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.17.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 4.7.2.17.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 4.7.2.17.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 4.7.2.17.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.17.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.7.2.17.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.7.2.17.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.7.2.17.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.7.2.17.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7.2.18

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.18.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 4.7.2.18.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.18.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.7.2.18.3

$x = 2 π - 0$

Этап 4.7.2.18.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 4.7.2.18.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.18.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.7.2.18.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.7.2.18.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.7.2.18.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.7.2.18.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7.2.19

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7.2.20

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 5.2

Объединим $\frac{π}{2} + π n$ и $\frac{π n}{2}$ в $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 6

Проверим каждое решение, подставив его в $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ и решив.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ , для любого целого $n$