Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x + \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π - π \cdot 2}{4}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x = \frac{π - 2 π}{4}$

Этап 3.5.2

Вычтем $2 π$ из $π$ .

$2 x = \frac{- π}{4}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x = - \frac{π}{4}$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Этап 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x + \frac{π}{2} = π - \frac{π}{4}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 6.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{3 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{3 π - π \cdot 2}{4}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x = \frac{3 π - 2 π}{4}$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 7

Найдем период $\sin (2 x + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{8}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{8} + π$

Этап 8.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Этап 8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $π$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Этап 8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Этап 8.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Этап 8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{8}$

Этап 9

Период функции $\sin (2 x + \frac{π}{2})$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$