Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

Этап 1

Вычтем $\cos (3 x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу тройного угла для преобразования $\cos (3 x)$ в $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Этап 2.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- 4 \cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $3 \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Этап 3.5

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ к $0$ .

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим $- 4 \cos^{2} (x)$ на $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Этап 6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Этап 6.2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 6.2.3

Добавим $- 4$ и $3$ .

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 6.2.4

Упорядочим многочлен.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 6.2.5

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Этап 6.2.6

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.7

Подставим значения $a = 4$ , $b = 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.8.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.8.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.8.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.8.2

Умножим $2$ на $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Этап 6.2.8.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Этап 6.2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Этап 6.2.10

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Этап 6.2.11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Этап 6.2.12

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Этап 6.2.12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

Этап 6.2.12.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Этап 6.2.12.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

Этап 6.2.12.4.2

Результирующий угол $\frac{9 π}{10}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π - \frac{π}{10} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{9 π}{10}$

Этап 6.2.12.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.12.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.13

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Этап 6.2.13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

Этап 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Этап 6.2.13.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

Этап 6.2.13.4.2

Результирующий угол $\frac{13 π}{10}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{13 π}{10}$

Этап 6.2.13.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.13.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{3 π}{10}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Этап 6.2.13.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Этап 6.2.13.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Этап 6.2.13.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Этап 6.2.13.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.6.4.1

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Этап 6.2.13.6.4.2

Вычтем $3 π$ из $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Этап 6.2.13.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{17 π}{10}$

Этап 6.2.13.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.14

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$