Введите задачу...
Тригонометрия Примеры
Этап 1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2
Этап 2.1
Применим формулу двойного угла для синуса.
Этап 2.2
Используем формулу тройного угла для преобразования в .
Этап 2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.4
Умножим на .
Этап 2.5
Умножим на .
Этап 3
Этап 3.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.2
Вынесем множитель из .
Этап 3.3
Вынесем множитель из .
Этап 3.4
Вынесем множитель из .
Этап 3.5
Вынесем множитель из .
Этап 4
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 5
Этап 5.1
Приравняем к .
Этап 5.2
Решим относительно .
Этап 5.2.1
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 5.2.2
Упростим правую часть.
Этап 5.2.2.1
Точное значение : .
Этап 5.2.3
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 5.2.4
Упростим .
Этап 5.2.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5.2.4.2
Объединим дроби.
Этап 5.2.4.2.1
Объединим и .
Этап 5.2.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.2.4.3
Упростим числитель.
Этап 5.2.4.3.1
Умножим на .
Этап 5.2.4.3.2
Вычтем из .
Этап 5.2.5
Найдем период .
Этап 5.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 5.2.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 5.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 5.2.5.4
Разделим на .
Этап 5.2.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 6
Этап 6.1
Приравняем к .
Этап 6.2
Решим относительно .
Этап 6.2.1
Заменим на на основе тождества .
Этап 6.2.2
Упростим каждый член.
Этап 6.2.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.2.2.2
Умножим на .
Этап 6.2.2.3
Умножим на .
Этап 6.2.3
Добавим и .
Этап 6.2.4
Упорядочим многочлен.
Этап 6.2.5
Подставим вместо .
Этап 6.2.6
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
Этап 6.2.7
Подставим значения , и в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно .
Этап 6.2.8
Упростим.
Этап 6.2.8.1
Упростим числитель.
Этап 6.2.8.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.8.1.2
Умножим .
Этап 6.2.8.1.2.1
Умножим на .
Этап 6.2.8.1.2.2
Умножим на .
Этап 6.2.8.1.3
Добавим и .
Этап 6.2.8.1.4
Перепишем в виде .
Этап 6.2.8.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.8.1.4.2
Перепишем в виде .
Этап 6.2.8.1.5
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 6.2.8.2
Умножим на .
Этап 6.2.8.3
Упростим .
Этап 6.2.9
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
Этап 6.2.10
Подставим вместо .
Этап 6.2.11
Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для .
Этап 6.2.12
Решим относительно в .
Этап 6.2.12.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 6.2.12.2
Упростим правую часть.
Этап 6.2.12.2.1
Найдем значение .
Этап 6.2.12.3
Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 6.2.12.4
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Этап 6.2.12.4.1
Вычтем из .
Этап 6.2.12.4.2
Результирующий угол является положительным, меньшим и отличается от на полный оборот.
Этап 6.2.12.5
Найдем период .
Этап 6.2.12.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 6.2.12.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 6.2.12.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 6.2.12.5.4
Разделим на .
Этап 6.2.12.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 6.2.13
Решим относительно в .
Этап 6.2.13.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 6.2.13.2
Упростим правую часть.
Этап 6.2.13.2.1
Найдем значение .
Этап 6.2.13.3
Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 6.2.13.4
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Этап 6.2.13.4.1
Вычтем из .
Этап 6.2.13.4.2
Результирующий угол является положительным, меньшим и отличается от на полный оборот.
Этап 6.2.13.5
Найдем период .
Этап 6.2.13.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 6.2.13.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 6.2.13.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 6.2.13.5.4
Разделим на .
Этап 6.2.13.6
Добавим к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.
Этап 6.2.13.6.1
Добавим к , чтобы найти положительный угол.
Этап 6.2.13.6.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 6.2.13.6.3
Объединим дроби.
Этап 6.2.13.6.3.1
Объединим и .
Этап 6.2.13.6.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.2.13.6.4
Упростим числитель.
Этап 6.2.13.6.4.1
Умножим на .
Этап 6.2.13.6.4.2
Вычтем из .
Этап 6.2.13.6.5
Перечислим новые углы.
Этап 6.2.13.7
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 6.2.14
Перечислим все решения.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 7
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
Этап 8
Объединим и в .
, для любого целого