Тригонометрия Примеры

$\sin (x) \cos (x) = \cot (x)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) \cos (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) \cos (x)) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3

Умножим $\sin (x) (\sin (x) \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) \cos (x) = \cos (x)$

Этап 5

Вычтем $\cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Этап 6

Упростим $\sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \sin^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\cos (x) \sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\cos (x) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 6.2

Изменим порядок $\sin^{2} (x)$ и $- 1$ .

$\cos (x) (- 1 + \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 6.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\cos (x) (- 1 (1) + \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) (- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) (- 1 (1 - \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 6.6

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) (- (1 - \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 6.7

Применим формулу Пифагора.

$\cos (x) (- \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 6.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \cos (x) \cos^{2} (x) = 0$

Этап 6.9

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$- (\cos^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Этап 6.9.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)) = 0$

Этап 6.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {\cos (x)}^{2 + 1} = 0$

Этап 6.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- \cos^{3} (x) = 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- \cos^{3} (x) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим каждый член $- \cos^{3} (x) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos^{3} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos^{3} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.1.2.2

Разделим $\cos^{3} (x)$ на $1$ .

$\cos^{3} (x) = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Этап 7.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Этап 7.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 7.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\cos (x) = 0$

Этап 7.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 7.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 7.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 7.7

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 7.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 7.7.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 7.8

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.9

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$