Тригонометрия Примеры

$\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$ .

$\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$

Этап 2

Упростим выражение, используя формулу $h a l f - a n g l e$ .

$\pm \sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Этап 3

Удалим $\pm$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Этап 4

Поскольку квадратные корни из обоих выражений равны, подкоренные выражения также должны быть равны между собой.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Этап 5

Упростим $\csc (\frac{3 π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{π}{4})$

Этап 5.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2}$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2} - 1$

Этап 7

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2}) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Этап 8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Этап 8.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Этап 8.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Этап 8.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Этап 8.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Этап 8.1.1.2.2

Умножим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $- 2 (\sqrt{2} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} + 2$

Этап 9

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\cos (2 x) = - 0.82842712$

Этап 10

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (- 0.82842712)$

Этап 11

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\arccos (- 0.82842712)$ .

$2 x = 2.54708993$

Этап 12

Разделим каждый член $2 x = 2.54708993$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разделим каждый член $2 x = 2.54708993$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

Этап 12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

Этап 12.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2.54708993}{2}$

Этап 12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Разделим $2.54708993$ на $2$ .

$x = 1.27354496$

Этап 13

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 (3.14159265) - 2.54708993$

Этап 14

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 2.54708993$

Этап 14.1.2

Вычтем $2.54708993$ из $6.2831853$ .

$2 x = 3.73609537$

Этап 14.2

Разделим каждый член $2 x = 3.73609537$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3.73609537$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

Этап 14.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

Этап 14.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3.73609537}{2}$

Этап 14.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Разделим $3.73609537$ на $2$ .

$x = 1.86804768$

Этап 15

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 15.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 15.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 15.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 15.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 16

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.27354496 + π n, 1.86804768 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 17

Исключим решения, которые не делают $\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$ истинным.

Нет решения