Тригонометрия Примеры

$\csc (x) - \sin (x) = \cot (x) \cos (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \cot (x) \cos (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\cot (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.1.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Этап 2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$1 + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - \sin (x) \sin (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - (\sin^{1} (x) \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - {\sin (x)}^{1 + 1} = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \sin^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 8

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Этап 10

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

Этап 11.2

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

Этап 11.3

Решим $\cos (x) = \cos (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$x = x$

Этап 11.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - x = 0$

Этап 11.3.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 = 0$

Этап 11.3.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Все вещественные числа

Этап 11.4

Решим $\cos (x) = - \cos (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Перенесем все члены с $\cos (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1

Добавим $\cos (x)$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

Этап 11.4.1.2

Добавим $\cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) = 0$

Этап 11.4.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 11.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 11.4.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Этап 11.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 11.4.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 11.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 11.4.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 11.4.6

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.4.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.4.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 11.4.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.6.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 11.4.6.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 11.4.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.4.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.4.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.4.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.4.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$